Algebraisk geometri ( efterår 2007 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter (Efterår 2007)
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
6097
Formål
At introducere algebraisk geometri med anvendelser ved hjælp af algebraiske varieteter.
Indhold
Kurset er en introduktion til algebraisk geometri - et af moderne matematiks mest spændende
områder. Lineær algebra handler om løsninger til lineære ligningssystemer som
\begin{align*}
x+y &= 2\\
x - y &= 0.
\end{align*}
Algebraisk geometri handler om ikke lineære ligningssystemer af polynomier som
\begin{align*}
x^2+y^2&=1\\
x^3-y^2+x&= 0.
\end{align*}
Løsningsmængden til sådan et ligningssystem kaldes en algebraisk
varietet. Vi vil studere disse indgående i kurset, som indeholder en stærk blanding af algebra og geometri. F.eks. kan man betragte en algebraisk varietet som
et ideal i en polynomiumsring.
Selvom kernen i kurset er den abstrakte ramme vil der blive lagt vægt på konkrete eksempler som oftest kan løses ved hjælp af computeralgebra software. At forsøge at lære algebraisk geometri uden at regne på en masse eksempler vil aldrig give en dybere forståelse for emnet.
Lærebogen er et kapitel for sig. Den er i mine øjne en af de mest succesrige lærebøger nogensinde til et introducerende kursus.
Læringsmål
Ved kursets afslutning skal du:
-
forstå hvorfor projektive algebraiske varieteter er vigtige
-
kende mindst et eksempel på hver af de abstrakte begreber
-
kunne regne opgaver hvori de abstrakte begreber indgår
-
udvise forståelse for sammenhænge mellem begreber i algebraisk geometri - forståelse der går videre end reproduktion og opremsning
-
forstå hvordan Gröbnerbaser benyttes i løsningen af problemer i algebraisk geometri
Faglige forudsætninger
Algebra
Underviser
Niels Lauritzen
Undervisnings- og arbejdsform
4 timers forelæsninger og øvelser per uge.
Litteratur
Tredie udgave af "Ideals, varieties and algorithms" af Cox, Little and O'Shea. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2007 (fremragende introduktion).
Litteratur
Third edition of "Ideals, varieties and algorithms" by Cox, Little and O'Shea. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2007 (legendary textbook on algebraic geometry).
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk/
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. maj 2007.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er et foredrag ledsaget af en skriftlig rapport.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 20 minutter,
uden forberedelse.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
