Målteori ( efterår 2007 - 5 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Grundkursus
-
Semester/kvarter:
1. kvarter
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
6014
Formål
Længde, areal og volumen er de grundlæggende begreber til
måling af
størrelsen af en mængde i hhv. én-, to- og tredimensionale
euklidiske rum. Det generelle matematiske værktøj til måling af
størrelsen af en mængde kaldes et mål eller mere præcist et
tælleligt additivt mål. Til ethvert mål kan man knytte et integral,
som tilsvarende angiver størrelsen af en funktion i forhold til
målet. Specielt giver målene svarende til længde, areal og volumen
i hhv. én, to og tre dimensioner anledning til
generaliseringer af det i tidligere kurser
indførte Riemann integral for kontinuerte funktioner.
Integralbegrebet er et uundværligt
værktøj i store dele af matematikken samt i næsten alle anvendelser
af matematik.
Kursets sigte er at give deltagerne et solidt kendskab til den
fundamentale teori for generelle mål og de tilhørende integraler og
derigennem at forberede deltagerne til videregående kurser i bl.a.
sandsynlighedsteori og matematisk analyse.
Obligatorisk program
For at kunne indstille sig til eksamen skal man have fået
godkendt mindst 4 af de ugentligt stillede afleveringsopgaver.
Indhold
Kurset giver en indføring i mål- og integralteori med
hovedvægt på
emnerne målelige rum, målelige funktioner og mål samt eksistens og
entydighed af det tilhørende integral. Et særlig vigtigt og
gennemgående eksempel er det n-dimensionale euklidiske rum udstyret
med Borel ?-algebraen og det n-dimensionale Lebesgue mål.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende indenfor kursets
emneområde at kunne
(a) gennemføre og formulere matematisk stringente argumenter
indenfor den til mål- og integralteori hørende begrebsramme.
(b) foretage beregninger, vurderinger og ræsonnementer baseret
på de grundlæggende definitioner og egenskaber for mål og
integraler.
(c) foretage beregninger, vurderinger og ræsonnementer for mål
og integraler i forbindelse med grænseovergange for følger af
mængder og funktioner.
(d) udlede identiteter i forbindelse med bl.a. ?-algebraer, måleligheds-egenskaber og integraler ved
hjælp af de for mål- og integralteori karakteristiske
bevisteknikker.
(e) anvende den abstrakte mål- og integralteori i sammenhæng
med matematisk teori og metodik tilegnet i foregående kurser - i
særdeleshed teorien for Riemann integralet.
Faglige forudsætninger
Introduktion til Matematisk Analyse, Matematisk Analyse 1 (2007), Lineær Algebra,
Matematisk Analyse 2 eller kurserne Konvekse Mængder og
Konvekse funktioner.
Underviser
Steen Thorbjørnsen
Undervisnings- og arbejdsform
4 timers forelæsninger og 3 timers teoretiske øvelser om
ugen.
Dansk
Litteratur
S.E. Graversen: Forelæsningsnoter til Målteori og
Sandsynlighedsteori 1.1.
Litteratur
S.E. Graversen: Forelæsningsnoter til Målteori og
Sandsynlighedsteori 1.1.
Skemaplacering (forelæsninger)
Blokpar G, tirsdag 14-16 + torsdag 14-16
Udbyder
Institut for Matematiske Fag
Indgår i følgende studieordninger
Bacheloruddannelsen i matematik
Indgår i følgende fagpakker
Sidefagspakke i matematik med geometri og analyse
Valgfrit element i:
Overbygningspakke i matematik, Sidefagspakke i matematik
Studieordning og bedømmelse
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Skriftlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
En skriftlig opgave bedømt efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Opgaven stilles ved undervisningens afslutning og skal
afleveres senest fredag kl.~12:00 i den følgende uge.
