Topologisk K-teori ( efterår 2007 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter (Efterår 2007)
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7061
Formål
At give en introduktion til en topologisk invariant baseret på teorien for vektorbundter på topologiske rum.
Indhold
På samme måde som den cohomologiteori, som man studerer i Topologi, kan man konstruere den topologiske K-teori ved at man til hvert topologisk rum $X$ associerer en Abelsk gruppe $K(X)$. Denne er en stærk invariant af et topologisk rum, der løste nogle vanskelige geometriske problemer kort tid efter at den var blevet defineret i 60'erne. På samme tid er den et fundamentalt værktøj i studiet af elliptiske differentialligninger, som leder til Atiyah-Singers indekssætning. Derfor er K-teori et frugtbart mødested mellem topologi og analyse. Idag findes K-teori indenfor mange områder af matematikken: Indeks teori i differentialgeometri og global analyse, Algebraisk K-teori i algebra og algebraisk topologi, og KK-teori indenfor operator algebra, for at nævne nogle. Kurset starter med vektorbundters fundamentale egenskaber, og fortsætter med konstruktion af topologisk K-teori og klassiske anvendelser.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
-
kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
-
redegøre for, hvorledes metoder fra kurset løser nogle klassiske problemer.
Faglige forudsætninger
Geometri 1. Topologi er nyttig, men ikke nødvendig for at følge kurset.
Underviser
Johan Dupont
Undervisnings- og arbejdsform
3--4 undervisningstimer om ugen.
.
Litteratur
J. Dupont: "K-Theory", Fall 1968, Lecture Notes Series 11, Aarhus University, 1968.
Litteratur
J. Dupont: "K-Theory", Fall 1968, Lecture Notes Series 11, Aarhus University, 1968.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk/
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. maj 2007.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er et seminarforedrag med tilhørende skriftlige noter.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 25 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
