Stokastisk geometri ( efterår 2007 - 5 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus.
-
Semester/kvarter:
2. kvarter (Efterår 2007).
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7935
Formål
Kurset er en introduktion i grundlæggende begreber i
stokastisk geometri med speciel vægt på redskaber fra
konveks geometri og integral geometri.
Indhold
Kurset indledes med en definition af tilfældige lukkede mængder (TLM)} i det d-dimensionale rum og deres invariansegenskaber såsom stationaritet og isotropi. Som eksempler på enkle karakteristika af TLMs diskuterer vi volumensfraktionen og kontaktfordelingsfunktionen. Efter en ekskursion ud i konveks geometri i planen, som omfatter en definition af indre volumina og bevis af den principale kinematiske formel, definerer vi quermass-tæthederne for stationære TLMs i to dimensioner.
Den anden vigtige model i stokastisk geometri er den simple punktprocess. Vi beviser Campbells sætning i dens enkleste form. Den (ikke nødvendigvis stationære) Poisson punktprocess bliver introduceret og dens eksistens og entydelighed afledes på detaljeret måde.
Til sidst bliver det Boolske model introduceret, som et eksempel på en TLM, hvis karakteristika kan beregnes eksplicit, i en form som kun afhænger af intensiteten og fordelingen af den typiske partikel.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområder at kunne:
(a) gengive og illustrere definitionerne af grundlæggende begreber som tilfældige lukkede mængder, kapacitetsfunktionaler, simple punktprocesser, quermass-tætheder, kontaktfordelingsfunktioner og Boolske modeller,
(b) gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem; resultaterne omfatter den principale kinematiske formel, eksistens- og entydelighedsudsagn for Poisson processer, og beviset for eksistensen af Boolske modeller,
(c) kombinere begreber fra integral geometri og konveks geometri med målteori for at opnå resultater om tilfældige mængder og punktprocesser,
(d) anvende teknikker, resultater og begreber fra kurset til at løse foreskrevne opgaver,
(e) sætte sig ind i en øvelsesopgave enten alene eller i en lille projektgruppe og præsentere denne for sine medstuderende mundligt med tilhørende skriftlige noter, og
(f) vise hvordan grundlæggende reelle karakteristika for en tilfældig mængde kan estimeres i en konkret situation, eventuelt under modelantagelser.
Faglige forudsætninger
Målteori.
Underviser
Markus Kiderlen.
Undervisnings- og arbejdsform
3 timers forelæsning og 1 times øvelser hver uge.
.
Litteratur
R. Schneider, and W. Weil. Stochastische Geometrie (German),
Teubner, Stuttgart, 2000.
D. Stoyan, W.S. Kendall, and J. Mecke. Stochastic Geometry and its Applications, 2nd edn., John Wiley, New York, 1995.
Litteratur
R. Schneider, and W. Weil. Stochastische Geometrie (German),
Teubner, Stuttgart, 2000.
D. Stoyan, W.S. Kendall, and J. Mecke. Stochastic Geometry and its Applications}, 2nd edn., John Wiley, New York, 1995.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter.
Re-eksamen: Efter aftale med faglærer.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag.
Tilmelding til undervisning
1.-15. maj 2007, Informationskontoret, Institut for Matematiske Fag.
Studieordning og bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Den mundtlige eksamen varer ca. 30 minutter efter en
forberedelse af 30 minutters varighed.
