AU kursuskatalog arkiv

Fraktalgeometri ( efterår 2008 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter ( )
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 7784

Formål

At introducere den teoretiske baggrund for mængder med ikke heltallig dimension og at introducere de studerende til at arbejde med sådanne mængder fra et matematisk analytisk synspunkt.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

I differential geometri studerer vi glatte kurver, flader og mangfoldigheder i euklidiske rum. Fraktal geometri er derimod studiet af højst irregulære delmængder af sådanne rum. Benoît Mandelbrot påstod i sin berømmede monografi fra 1977, at sådanne mængder er allestedsnærværende i naturen, eksemplificeret ved f.eks. skyer, blomkål eller kystlinier. Når vi zoomer ind på en glat kurve eller flade, kommer den til at se fladere og fladere ud. Dette er en konsekvens af, at et sådant objekt er lokalt diffeomorft med et Euklidisk rum. En fraktal has på den anden side ikke denne egenskab, og mister ikke noget af sin kompleksitet.

I dette kursus introducerer og udvikler vi nogle af de værktøjer, der er nødvendigt i studiet af sådanne mængder. Speciel vægt vil blive lagt på begreber som Hausdorff mål og dimension samt på tætheder af fraktaler. Vi vil tillige anvende disse metoder på studiet af forskellige fraktale mængder, herunder eksempler fra dynamiske systemer, analyse, talteori, sandsynlighedsteori og anvendt matematik.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og gøre et af følgende:
  - Præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
  - Udarbejde et større skriftligt arbejde, med en fyldestgørende gennemgang af det valgte delemne
• kombinere begreber fra analyse, geometri og målteori
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer elementære resultater

Faglige forudsætninger

Målteori

Underviser

Simon Kristensen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.

Litteratur

K. Falconer: "Fractal geometry. Mathematical foundations and applications", John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2003.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 2. - 15. maj 2008.

Studieordning og bedømmelse

Bacheloruddannelsen i matematik

• Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve kan være en præsentation af udvalgte dele af et emne i fraktalgeometri med tilhørende skriftlige noter eller et større skriftligt arbejde, med en fyldestgørende gennemgang af et emne i fraktalgeometri.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 20 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.