[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]
Analyse af ubegrænsede operatorer.
None.
Mange centrale objekter i analyse, differentialgeometri og matematisk fysik er differentialoperatorer og således ubegrænsede operatorer. Derfor har vi et behov for at udvikle en udvidelse af spektralteorien fra Kurset i Videregående Analyse for at kunne forstå disse operatorer. Et vigtigt punkt er at kunne diagonalisere operatorer.
Vi starter ud med at definere ubegrænsede selvadjungerede operatorer og at etablere deres fundamentale egenskaber, som f.eks. at spektret er en delmængde af de reelle tal. Vi gennemgår en konstruktion af selvadjungerede operatorer ved udvidelse af en given symmetrisk operator via Cayley-transformationen og begrebet defektindekser. Herefter viser vi en version af spektralsætningen. Beviset baseres på spektralteori for begrænsede normale operatorer som studeret i kurset Videregående Analyse, specielt begrebet integration m.h.t. en familie af spektralprojektioner.
Vi studerer relationen mellem selvadjungerede operatorer og lukkede kvadratiske former, som er mere subtil end i det begrænsede tilfælde. Denne relation belyses ved eksemplet Sturm-Liouville operatorer. Vi introducerer Fourier-transformationen, som benyttes til at studere differentialoperatorer med konstante koefficienter på $\R^{n}$ og som værktøj for konstruktion af kompakte operatorer, jvf. Sobolevs indlejringssætninger.
Næste emne er teori til bestemmelse af spektret og dets natur; her optræder de kompakte operatorer naturligt. Et andet værktøj er Rayleigh-Ritz variationsformlen.
I det omfang tiden tillader det studeres mere systematisk teorien for selvadjungerede udvidelser (herunder Nelsons kommutatorsætning) og Stones sætning og måske mere generel semigruppeteori for Hilbert-rum.
Videregående Analyse.
Søren Fournais og Erik Skibsted
4 timers forelæsninger og øvelser om ugen.
Dansk, subsidiært engelsk
E.B. Davies: "Spectral theory and differential operators", Cambridge University Press, 1995, 1. edition.
Noter.
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 2. - 15. maj 2008.
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to målepunkter.
Det første målepunkt er en seminar-præsentation af givet emne.
Det andet målepunkt er et mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 25 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter det første målepunkt 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
