AU kursuskatalog arkiv

Introduktion til Topologi (2008) ( efterår 2008 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter ( )
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 12738

Formål

Kursets formål er at give en introduktion til et stort område i den moderne matematik.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Algebraisk topologi studerer topologiske egenskaber ved at benytte algebraiske invarianter af topologiske rum. Dette maskineri bliver brugt overalt i moderne geometri, topologi og algebraisk geometri, men også i stigende grad i øvrige matematiske discipliner og i matematisk fysik.

Det 1. kvarter introducerer fundamentalgruppen af et topologisk rum og udvikler sammenhængen mellem denne gruppe og teorien for overlejringsrum. Van Kampens sætning vil blive bevist og fundamentalgruppen af en kompakt flade udregnet. En række andre anvendelser af fundamentalgruppen vil blive gennemgået.

Det 2. kvarter behandler homologi. Til hvert topologisk rum knyttes en følge af abelske grupper, de singulære homologigrupper, og til hver kontinueret afbildning mellem topologiske rum knyttes en homomorfi af de tilsvarende homologigrupper. En række egenskaber (Eilenberg-Steenrod aksiomerne) vil blive bevist. Tilsammen giver fundamentalgruppen og homologigrupperne et (afsvækket) billede af kategorien af topologiske rum.

Faglige forudsætninger

Algebra og Geometri

Underviser

Jørgen Tornehave og Marcel Bökstedt

Undervisnings- og arbejdsform

3-4 undervisningstimer om ugen.

Litteratur

Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge University Press, 2002.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 2. - 15. maj 2008.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver indenfor topologiske egenskaber af rum,
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne skriftligt
• kombinere elementære begreber fra algebra med geometriske konstruktioner.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med ekstern censur.

Hvis kurset tages som bachelorprojekt, evalueres kurset ved et større skriftligt projekt.

Hvis kurset ikke tages som bachelorprojekt, så evalueres kurset ved to delprøver.

Den første delprøve er en større skriftlig opgave.

Det anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter med 25 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.