AU kursuskatalog arkiv

Riemannsk geometri ( efterår 2008 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter ( )
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 12740

Formål

Formålet med kurset er at dække grundlæggende Riemannsk geometri med fokus på at nå lokal-globale resultater, specielt Gauss-Bonnet-sætningen.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Kurset vil begynde med en gennemgang af det grundlæggende indenfor generel mangfoldighedsteori, deriblandt tensorer, vektorbundter og differentialformer. Vi vil derefter fortsætte med at dække kernen af klassisk Riemannsk geometri, deriblandt metrikker, konnektioner, krumning og geodæter på Riemannske mangfoldigheder. Vi vil derefter bruge disse redskaber til at diskutere anvendelser, så som rum med konstant krumning, indlejrede flader og Jacobifelter.

Et primært mål for kurset vil være at bevise visse lokal-globale resultater især med fokus på Gauss-Bonnet-sætningen for lukkede flader, hvilket giver en forbindelse mellem krumningen og genus af en sådan flade. Hvis tiden tillader det, vil vi derefter genfortolke Gauss-Bonnet-sætningen i termer af de Rhams teori om differentialformer og Chern-Weil-teorien om karakteristiske klasser.

Faglige forudsætninger

Geometri

Underviser

Johan Dupont

Undervisnings- og arbejdsform

3-4 timers forelæsninger om ugen

Litteratur

John M. Lee, "Riemannian Manifolds", An Introduction to Curvature, Springer Graduate Texts in Mathematics 176, New York, 1997.
(For further reading) Shigeyuki Morita, "Geometry of Differential Forms", Translations of the American Mathematical Society 201, Providence, RI, 2001.
Johan L. Dupont: "Differential Geometry", Lecture Notes no. 62, Aarhus University, 1993.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 2. - 15. maj 2008.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere dette skriftligt
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater

Studieordning og bedømmelse

Bacheloruddannelsen i matematik

• Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en skriftlig hjemmeopgave.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter med 30 minutters forberedelse og med alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.