[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]
At indføre rodsystemer og Coxeter grupper samt undersøge nogle af deres grundlæggende egenskaber.
Hver deltager holder en miniforelæsning over et emne med tilknytning til kurset og skriver noter hertil.
De symmetriske grupper $S_n$, som optræder i kurset "Algebra" er eksempler på Coxeter grupper. I dette kursus skal vi indføre en mere generel klasse af grupper, som kaldes reflektionsgrupper, og vi skal studere deres grundlæggende egenskaber. For eksempel vil vi vise, at de kan udstyres med en længdefunktion, at deres elementer har reducerede udtryk, og at disse tilfredsstiller en såkaldt udvekslingsbetingelse. Derefter vil vi give den generelle definition på Coxeter grupper. Sådanne grupper optræder i flere forskellige matematiske sammenhænge. Vi vil understrege den rolle, som rodsytemer spiller i teorien. Et rodsystem er et elementært begreb, som er helt fundamentalt i Lie teori, såvel når det gælder Lie algebraer, algebraiske grupper, kvantegrupper som Kac-Moody algebraer. Vores tilgang til emnet vil bestå i at give de vigtigste definitioner og studere de mest grundlæggende egenskaber ved rodsystemer. Udrustet hermed vil vi være i stand til at undersøge en lang række konkrete eksempler.
Sidst i kurset vil vi indføre Hecke algebraer. Disse algebraer er nært forbundet med Coxeter grupper, og det er nemt at give en række konkrete eksempler. Vi skal studere de berømte Kazhdan-Lusztig polynomier, som naturligt dukker op i forbindelse med visse kanoniske baser for Hecke algebraer.
Der er tætte forbindelser mellem indholdet i dette kursus og emner som endelige grupper, Lie algebraer, kvantegrupper og repræsentationsteorien for sådanne.
Algebra
Henning Haahr Andersen
4 timers forelæsninger per uge
J. E. Humphreys, "Reflection Groups and Coxeter Groups", Cambridge studies in advanced mathematics 29 , Cambridge University Press 1997.
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamen: 2. kvarter
Re-eksamen: efter aftale med faglæreren.
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 2. - 15. maj 2008.
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve består i ovennævnte miniforelæsning og de dertil hørende noter.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, uden forberedelse.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
