AU kursuskatalog arkiv

Fraktalgeometri (Q1+Q2) honours ( efterår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 25976

Formål

At introducere den teoretiske baggrund for mængder med ikke heltallig dimension og at introducere de studerende til at arbejde med sådanne mængder fra et matematisk analytisk synspunkt.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

I differential geometri studerer vi glatte kurver, flader og mangfoldigheder i euklidiske rum. Fraktal geometri er derimod studiet af højst irregulære delmængder af sådanne rum. Benoît Mandelbrot påstod i sin berømmede monografi fra 1977, at sådanne mængder er allestedsnærværende i naturen, eksemplificeret ved f.eks. skyer, blomkål eller kystlinier. Når vi zoomer ind på en glat kurve eller flade, kommer den til at se fladere og fladere ud. Dette er en konsekvens af, at et sådant objekt er lokalt diffeomorft med et Euklidisk rum. En fraktal har på den anden side ikke denne egenskab, og mister ikke noget af sin kompleksitet.

I dette kursus introducerer og udvikler vi nogle af de værktøjer, der er nødvendigt i studiet af sådanne mængder. Speciel vægt vil blive lagt på begreber som Hausdorff mål og dimension samt på tætheder af fraktaler. Vi vil tillige anvende disse metoder på studiet af forskellige fraktale mængder, herunder eksempler fra dynamiske systemer, analyse, talteori, sandsynlighedsteori og anvendt matematik.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• ræssonere om gyldigheden af centrale resultater i fraktalgeometri ved at give stringente, detaljerede beviser for dem
• reflektere om relationer mellem centrale resultater i fraktalgeometri og geometrisk målteori
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber til at analysere konkrete eksempler på fraktale mængder, samt give anvendelser på eksempler i andre grene af matematikken
• diskutere et foreskrevet delemne, som ikke har været behandlet i timerne, ved at anvende kursets teori på det
• integrere begreber fra analyse, geometri og målteori
• perspektivere kurset ved at diskutere, hvorledes det generaliserer elementære resultater i geometri og målteori

Faglige forudsætninger

Målteori

Underviser

Simon Kristensen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Litteratur

K. Falconer: Fractal geometry. Mathematical foundations and applications , John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2003.

Supplerende noter.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to målepunkter. Det første målepunkt er et større skriftligt arbejde (min. 15 sider), med en fyldestgørende gennemgang af et emne i fraktalgeometri.

Det andet målepunkt er et mundtlig eksamen, som varer ca. 30 minutter, med 30 minutter forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter det første målepunkt 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.