AU kursuskatalog arkiv

Frames og baser i Hilbertrum (Q1+Q2) ( efterår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2010).
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen specielle
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 25892

Formål

At bibringe deltagerne en forståelse af den grundlæggende teori for frames og af udvalgte anvendelser af denne teori.

Indhold

Et vigtigt hjælpemiddel i studiet af et Hilbertrum $\mathcal{H}$ er begrebet en basis. Givet en sådan, kan ethvert element i $\mathcal{H}$ skrives på netop en måde som en uendelig linearkombination af basiselementerne. Desværre er betingelserne på en basis meget restriktive - linear afhængighed er ikke tilladt, og som regel vil vi endda have, at basiselementerne står vinkelret på hinanden. Det gør det vanskeligt, undertiden endda umuligt, at finde baser, der opfylder foreskrevne ekstra betingelser. Det er grunden til, at man kunne ønske sig et mere fleksibelt hjælpemiddel.

En frame (der er ingen autoriseret dansk oversættelse) er et sådant hjælpemiddel. En frame for $\mathcal{H}$ er en delmængde $\{ f_n\} _{n \in \Z }$ af $\mathcal{H}$ med den egenskab, at ethvert element i $\mathcal{H}$ kan skrives som en uendelig linearkombination af $f_n$'erne, men hvor der ikke kræves lineær uafhængighed af systemet $\{ f_n\}$.

I kurset vil vi studere den moderne teori for baser og frames i Hilbertrum. Vægten vil blive lagt på de matematiske aspekter, og synspunktet vil være funktionalanalytisk. Det skal retfærdigvis nævnes, at der er seriøse anvendelser af teorien på signal-analyse og billedprocessering; dem går vi dog ikke ind på.

Meget af teorien er ny, nemlig fra de seneste 15 år, selv om den har sine rødder i den klassiske teori for ikke-harmoniske Fourierrækker: Her er $\mathcal{H} = L^2(-\pi ,\pi )$ og $f_n(x) = e^{i\lambda _{n} x}$, hvor $\{ \lambda _n\} $ er en familie af reelle eller komplekse tal; det harmoniske tilfælde er specialtilfældet $\lambda _n = n$. Nyere eksempler på frames er de såkaldte wavelet baser, der har fået stor praktisk betydning.

Faglige forudsætninger

Svarende til kurset Reel analyse

Underviser

Henrik Stetkær

Undervisnings- og arbejdsform

3 timers forelæsninger og 1 time øvelser om ugen

Litteratur

Christensen, Ole: "Frames and Bases. An introductory course." Birkhäuser. May 2008.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk// fra d. 1. - 15. maj 2010.

Eftertilmeldinger: Kontakt Maiken Kirdorf Nielsen, maiken@imf.au.dk

Særligt om dette kursus

Intet

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• forklare gyldigheden af kursets centrale resultater ved at give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber til at analysere på konkrete eksempler og opgaver
• diskutere et foreskrevet delemne, som ikke har været behandlet i timerne, ved at anvende kursets teori på det
• kombinere forskellige begreber fra lineær algebra, funktionalanalyse og topologi
• redegøre for, hvorledes resultaterne i kurset generaliserer klassiske resultater om ortonormalbaser i Hilbertrum.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en skriftlig opgave (min. 5 sider) som afleveres i løbet af kurset.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25 minutter med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.