[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]
At bibringe deltagerne en forståelse af den grundlæggende teori for frames og af udvalgte anvendelser af denne teori.
Et vigtigt hjælpemiddel i studiet af et Hilbertrum $\mathcal{H}$ er begrebet en basis. Givet en sådan, kan ethvert element i $\mathcal{H}$ skrives på netop en måde som en uendelig linearkombination af basiselementerne. Desværre er betingelserne på en basis meget restriktive - linear afhængighed er ikke tilladt, og som regel vil vi endda have, at basiselementerne står vinkelret på hinanden. Det gør det vanskeligt, undertiden endda umuligt, at finde baser, der opfylder foreskrevne ekstra betingelser. Det er grunden til, at man kunne ønske sig et mere fleksibelt hjælpemiddel.
En frame (der er ingen autoriseret dansk oversættelse) er et sådant hjælpemiddel. En frame for $\mathcal{H}$ er en delmængde $\{ f_n\} _{n \in \Z }$ af $\mathcal{H}$ med den egenskab, at ethvert element i $\mathcal{H}$ kan skrives som en uendelig linearkombination af $f_n$'erne, men hvor der ikke kræves lineær uafhængighed af systemet $\{ f_n\}$.
I kurset vil vi studere den moderne teori for baser og frames i Hilbertrum. Vægten vil blive lagt på de matematiske aspekter, og synspunktet vil være funktionalanalytisk. Det skal retfærdigvis nævnes, at der er seriøse anvendelser af teorien på signal-analyse og billedprocessering; dem går vi dog ikke ind på.
Meget af teorien er ny, nemlig fra de seneste 15 år, selv om den har sine rødder i den klassiske teori for ikke-harmoniske Fourierrækker: Her er $\mathcal{H} = L^2(-\pi ,\pi )$ og $f_n(x) = e^{i\lambda _{n} x}$, hvor $\{ \lambda _n\} $ er en familie af reelle eller komplekse tal; det harmoniske tilfælde er specialtilfældet $\lambda _n = n$. Nyere eksempler på frames er de såkaldte wavelet baser, der har fået stor praktisk betydning.
Svarende til kurset Reel analyse
Henrik Stetkær
3 timers forelæsninger og 1 time øvelser om ugen med aktiv deltagelse i opgaveregningen.
I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.
Christensen, Ole: "Frames and Bases. An introductory course." Birkhäuser. May 2008.
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Intet
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er en større skriftlig opgave (min. 10 sider), som afleveres i løbet af kurset.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25 minutter med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
