AU kursuskatalog arkiv

Introduktion til Topologi (Q1+Q2) honours ( efterår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 26041

Formål

Kursets formål er at give en introduktion til et stort område i den moderne matematik.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Algebraisk topologi studerer topologiske egenskaber ved at benytte algebraiske invarianter af topologiske rum. Dette maskineri bliver brugt overalt i moderne geometri, topologi og algebraisk geometri, men også i stigende grad i øvrige matematiske discipliner og i matematisk fysik.

Det 1. kvarter introducerer fundamentalgruppen af et topologisk rum og udvikler sammenhængen mellem denne gruppe og teorien for overlejringsrum. Van Kampens sætning vil blive bevist og fundamentalgruppen af en kompakt flade udregnet. En række andre anvendelser af fundamentalgruppen vil blive gennemgået.

Det 2. kvarter behandler homologi. Til hvert topologisk rum knyttes en følge af abelske grupper, de singulære homologigrupper, og til hver kontinueret afbildning mellem topologiske rum knyttes en homomorfi af de tilsvarende homologigrupper. En række egenskaber (Eilenberg-Steenrod aksiomerne) vil blive bevist. Tilsammen giver fundamentalgruppen og homologigrupperne et (afsvækket) billede af kategorien af topologiske rum.

Faglige forudsætninger

Algebra og Geometri

Underviser

Jørgen Tornehave

Undervisnings- og arbejdsform

3-4 undervisningstimer om ugen.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Litteratur

Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge University Press, 2002.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• forklare gyldigheden af kursets centrale resultater ved at give stringente, detaljerede beviser for dem,
• reflektere over forbindelserne mellem vigtige resultater i kurset og i andre matematiske emner 
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver indenfor topologiske egenskaber af rum,
• diskutere et foreskrevet delemne som ikke har været behandlet i timerne, ved at anvende kursets teori på det, og præsentere udvalgte dele af dette delemne skriftligt,
• integrere begreber fra algebra og topologi med geometriske konstruktioner.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med ekstern censur.

Kurset evalueres ved to delprøver.

Den første delprøve er en større skriftlig opgave.

Det anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25 minutter med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.