AU kursuskatalog arkiv

Målteori (Q1) ( efterår 2010 - 5 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: dansk
• Niveau: Grundkursus
• Semester/kvarter: 1. kvarter (Efterår 2010)
• Timer per uge: 7
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 19183

Formål

Længde, areal og volumen er de grundlæggende begreber til måling af størrelsen af en mængde i hhv. én-, to- og tredimensionale euklidiske rum. Det generelle matematiske værktøj til måling af størrelsen af en mængde kaldes et mål eller mere præcist et tælleligt additivt mål. Til ethvert mål kan man knytte et integral, som tilsvarende angiver størrelsen af en funktion i forhold til målet. Specielt giver målene svarende til længde, areal og volumen i hhv. én, to og tre dimensioner anledning til generaliseringer af det i tidligere kurser indførte Riemann integral for kontinuerte funktioner. Integralbegrebet er et uundværligt værktøj i store dele af matematikken samt i næsten alle anvendelser af matematik.

Kursets sigte er at give deltagerne et solidt kendskab til den fundamentale teori for generelle mål og de tilhørende integraler og derigennem at forberede deltagerne til videregående kurser i bl.a. sandsynlighedsteori og matematisk analyse.

Obligatorisk program

For at kunne indstille sig til eksamen skal man have fået godkendt mindst 4 af de ugentligt stillede afleveringsopgaver.

Indhold

Kurset giver en indføring i mål- og integralteori med hovedvægt på emnerne målelige rum, målelige funktioner og mål samt eksistens og entydighed af det tilhørende integral. Et særlig vigtigt og gennemgående eksempel er det n-dimensionale euklidiske rum udstyret med Borel sigma-algebraen og det n-dimensionale Lebesgue mål.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende indenfor kursets emneområde at kunne

(a) gennemføre og formulere matematisk stringente argumenter indenfor den til mål- og integralteori hørende begrebsramme.

(b) foretage beregninger, vurderinger og ræsonnementer baseret på de grundlæggende definitioner og egenskaber for mål og integraler.

(c) foretage beregninger, vurderinger og ræsonnementer for mål og integraler i forbindelse med grænseovergange for følger af mængder og funktioner.

(d) udlede identiteter i forbindelse med bl.a. σ-algebraer, måleligheds-egenskaber og integraler ved hjælp af de for mål- og integralteori karakteristiske bevisteknikker.

(e) anvende den abstrakte mål- og integralteori i sammenhæng med matematisk teori og metodik tilegnet i foregående kurser - i særdeleshed teorien for Riemann integralet.

Faglige forudsætninger

Introduktion til Matematisk Analyse, Matematisk Analyse 1 (2007), Lineær Algebra, Matematisk Analyse 2 eller kurserne Konvekse Mængder og Konvekse funktioner.

Underviser

Steen Thorbjørnsen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers forelæsninger og 3 timers teoretiske øvelser om ugen. Dansk

Litteratur

Forelæsningsnoter.

Kursushjemmeside

http://aula.au.dk/courses/IMFMALTEOE10/

Tidligere udgaver af kurset kan findes via instituttets hjemmeside: http://www.imf.au.dk

Skemaplacering (forelæsninger)

Tirsdag 14-16 + torsdag 14-16

Blokpar G: http://science.au.dk/uddannelse/undervisning/blokpar/

Eksamensterminer

Eksamen: 1. Kvarter

Placering: Onsdag den 20. oktober 2010, uge 42

Reeksamen: Januar

http://science.au.dk/uddannelse/undervisning/eksamen/regler-for-tilmelding-til-kurser-med-fastlagt-eksamen/

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk/ fra d. 1. - 15. maj 2010.

Bedømmelse

4 timers skriftlig eksamen vurderet efter 7-trinsskalaen med intern censur. Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt.