[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]
Introduktion til morseteori.
Intet
Morseteori studerer mængder ved at undersøge reelle funktion på dem. Konkret interesserer vi os for hvordan mængden er bygget op af nivåmængder f^{-1}(r). Teorien fungerer bedst for funktioner som er "glatte mangfoldigheder".
Glatte mangfoldigheder hører til den moderne geometris fundamentale objekter. De er generaliseringer af flader til højere dimensioner. I naturvidenskab møder man dem ofte som et systems mulige konfigurationer. Vi vil definere dem og beskrive deres elementære egenskaber.
Det basale tilfælde er når funktionen f er en Morse funktion, det vil sige en glat funktion fra en mangfoldighed til de reelle tal med singulariteter som er "så simple som muligt". Et eksempel er funktionen f(x,y)=x^2-y^2 defineret på planen. Lad os diskutere hvordan f^{-1}(r) varierer når r varierer.
Vi ser at hvis r er større end nul så er nivåmængderne glatte kurver (hyperbler) i det øvre og nedre halvplan. Hvis r er mindre end nul er nivåmængderne glatte kurver i det højre og venstre halvplan.
Men hvis r=0 er nivåmængden ikke en glat kurve. Den er foreningen af to glatte kurver (linier) som skærer hinanden i en positiv vinkel. Det specielle ved 0 er at det er en kritisk værdi for f: Funktionens differential er nul i det kritiske punkt (0,0) hvor de to kurver skærer hinanden.
Det mest interessante er at beskrive hvordan nivåmængden forandres i nærheden af en kritisk værdi.
Man kan forestille sig dette på følgende måde: Hvis M er en flade som er inlejret i et Euklidisk rum, så definerer den sidste koordinat en glat funktion på M, højde funktionen. Under passende betingelser er denne en Morse funktion. For eksempe, hvis vi placerer vor torus som en bilring i det tredimensionelle rum så har højdefunktionen fire kritiske punkter. Et maksimum, et minimum og to saddelpunkter. I omegnen af saddelpunkterne ligner funktionen den funktion f som vi betragtede ovenfor i omegnen af (0,0).
Hvis to nivåkurver ikke er separerede af en kritisk værdi findes der en diffeomorfi mellem disse kruver, som er givet ved at følge den stejleste vej på fladen. Så nivåkurverne vil kun forandres på væsentlig måde når vi passerer forbi en kritisk værdi r.
Hvis r er mindre end minimum er "nivåkurven" den tomme mængde. Mellem minimum og det første saddelpunkt består nivåkurven af en cirkel. Mellem de to saddelpunktr har vi to cirkler, og derefter får vi på symmetrisk måde først en cirkel, og til sidst den tomme mængde.
Hvis M er en flade i det tredimensionelle rum kan vi analysere den ved hjælp af højdefunktionen og dens nivåkurver. På denne måde kan vi klassificere glatte flader. Enhver kompakt, orienteret flade er diffeomorf til en torur med et antal hanke.
Vi vil også betragte funktioner med mere generelle singulariteter end Morse funktioner, for eksempel f(x,y)=x^3+y^2. Vi vil studere geometrien i en omegn af det kritiske punkt, men fra lidt anden synsvinkel. Vi undersøger hvordan situationen forandres hvis vi varierer f. For eksempel er det muligt at finde Morse funktioner på denne måde.
I løbet af de seneste 50 år har det vist sig at Morseteori er en af de bedste metoder for at studere mangfoldigheder. På den ene side er allerede eksistensen af en Morse funktion et første skridt i retning af at klassificere mangfoldigheder, på den anden side kan man ofte skrive en konkret Morsefunktion ned, og bruge denne til at bestemme mangfoldighedens geometriske egenskaber.
Desuden er der udviklet en meget fremgangsrig gren af matematikken som beskæftiger sig med Morsefunktioner på uendeligdimensionelle mangfoldigheder, interessante i forbindelse med differentialgeometri og matematisk højenergifysik.
Den centrale del af kurset vil følge de første 40 sider af Milnors klassiske og uovertruffede bog "Morse theory".
Vi vil lære om differentierbare mangfoldigheder i Hitchin: Differentiable manifolds, kapitel 1.
Der vil være noter om klassifikation af flader.
Der er mere information om Morse teori på http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory .
Geometri
Marcel Bokstedt + NN
4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.
I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.
J. Milnor: Morse theory ,
Hitchin: Differentiable manifolds, chapter 1, kan ses her: http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/hitchinnotes.html
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Intet
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er et seminariefordrag mmed skriftligt materiale.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 30 minutter, med 30 minutters forberedelse
og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
