AU kursuskatalog arkiv

Repræsentationer af Lie algebraer (Q1+Q2) honours ( efterår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning:
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 25997

Formål

At udvikle repræsentationsteorien for semisimple Lie algebraer

Indhold

 Vi udvikler repræsentationsteorien for semisimple Lie algebraer, idet vi begynder med det endeligt dimensionale tilfælde. Det viser sig, at endeligt dimensionale irreducible repræsentationer er parametriseret ved deres højeste vægte. Vores konstruktion producerer faktisk mange flere interessante højeste vægt moduler, hvoraf hovedparten er uendeligt dimensionale. Dette fører naturligt til en undersøgelse af en kategori af højeste vægt repræsentationer, som først blev studeret af J. Bernstein, I. Gelfand og S. Gelfand omkring 1970. Denen kategori har spillet og spiller fortsat en vigtig rolle i moderne repræsentationsteori. Specielt var den en af udgangspunkterne for den berømte Kazhdan-Lusztig teori, som vi kort skal komme ind på hen mod slutningen af kurset.

Faglige forudsætninger

 Kurset Lie algebraer , Forår 2010

Underviser

Henning Haahr Andersen og Sergey Arkhipov

Undervisnings- og arbejdsform

 4 timers forelæsninger per uge.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Litteratur

J. E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag.

J. E. Humphreys: Representations of Semisimple Lie Algebras , Graduate Studies in Mathematics, Vol. 94, AMS 2008.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

 Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• analysere centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem,
• reflektere over sammenhængen mellem de centrale sætninger,
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver,
• diskutere og forelæse over et tema indenfor kursets emneområde,
• kombinere begreber fra kurset med andre vigtige emner i algebra,
• sætte kurset i perspektiv ved at diskutere hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater om endeligt dimensionale repræsentationer af Lie algebraer.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve består i en individuel fremstilling af et delemne med tæt relation til kursets tema.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25-30 minutter uden forberedelse.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.