AU kursuskatalog arkiv

Funktionalligninger (Q1+Q2) (Honours) ( efterår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 32663

Formål

At indføre deltagerne i den nyere udvikling af teorien for funktionalligninger på topologiske grupper. 

Indhold

Et eksempel på en funktionalligning er cosinus-ligningen: Find alle kontinuerte funktioner $g$g på den reelle akse som opfylder $g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y)$ for alle reelle tal $x$, $y$. Denne ligning går tilbage til den franske matematiker d'Alembert (1769). En løsning er $g(x) = cos x$, men der er andre løsninger.

Den tilsvarende ligning at løse på en gruppe G er $g(xy) + g(xy^{-1}) = 2g(x)g(y)$ for alle $x,y \in G$.

Vi vil i kurset studere funktionalligninger, der - som dem ovenfor - er nært knyttet til den underliggende gruppestruktur. For at gøre det vil vi langs vejen indføre begreber fra harmonisk analyse på topologiske grupper som karakterer, repræsentationer og sfæriske funktioner (disse begreber antages ikke for kendt af deltagerne). Som et biprodukt kommer vi til at se relationerne mellem de klassiske trigonometriske funktioner fra et højere synspunkt.

Der er brugt mange kræfter på studiet af funktionalligninger på abelske grupper. Vi er dog hovedsagelig interesseret i resultater for grupper, som ikke nødvendigvis er abelske. Her er der gjort mange fremskridt i de seneste 10 år. Formålet med kurset er at præsentere disse nye resultater.

Faglige forudsætninger

Underviser

Undervisnings- og arbejdsform

4 timer med forelæsninger, øvelser og seminarer.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Litteratur

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• forklare gyldigheden af kursets centrale resultater ved at give stringente, detaljerede beviser for dem,
• reflektere over forbindelserne mellem vigtige resultater i kurset,
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver,
• diskutere et foreskrevet delemne, der ikke behandles ved forelæsningerne, ved at anvende kursets teori på det.
• integrere begreber fra algebra, analyse og topologi i behandlingen af forskellige funktionalligninger,
• perspektivere kurset ved at diskutere, hvorledes det generaliserer klassiske resultater fra teorien for sfæriske funktioner.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er enten en større skriftlig opgave eller en seminarforelæsning med tilhørende skriftligt materiale. Seminaret vil typisk være på 2 x 45 minutter. Emnet kan være en del af en forskningsartikel eller en monografi, som den studerende selvstændigt sætter sig ind i.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen efter 30 minutters forberedelse med alle sædvanlige hjælpemidler. Tidsrammen for den mundtlige eksamen er 30 minutter.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.