AU kursuskatalog arkiv

Funktionalligninger (Q1+Q2) ( efterår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 32659

Formål

At indføre deltagerne i den nyere udvikling af teorien for funktionalligninger på topologiske grupper. 

Indhold

Et eksempel på en funktionalligning er cosinus-ligningen: Find alle kontinuerte funktioner $g$g på den reelle akse som opfylder $g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y)$ for alle reelle tal $x$, $y$. Denne ligning går tilbage til den franske matematiker d'Alembert (1769). En løsning er $g(x) = cos x$, men der er andre løsninger.

Den tilsvarende ligning at løse på en gruppe G er $g(xy) + g(xy^{-1}) = 2g(x)g(y)$ for alle $x,y \in G$.

Vi vil i kurset studere funktionalligninger, der - som dem ovenfor - er nært knyttet til den underliggende gruppestruktur. For at gøre det vil vi langs vejen indføre begreber fra harmonisk analyse på topologiske grupper som karakterer, repræsentationer og sfæriske funktioner (disse begreber antages ikke for kendt af deltagerne). Som et biprodukt kommer vi til at se relationerne mellem de klassiske trigonometriske funktioner fra et højere synspunkt.

Der er brugt mange kræfter på studiet af funktionalligninger på abelske grupper. Vi er dog hovedsagelig interesseret i resultater for grupper, som ikke nødvendigvis er abelske. Her er der gjort mange fremskridt i de seneste 10 år. Formålet med kurset er at præsentere disse nye resultater.

Faglige forudsætninger

Underviser

Undervisnings- og arbejdsform

Litteratur

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk// fra d. 1. - 15. maj 2011.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en skriftlig opgave. Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25 minutter efter 30 minutters forberedelse med alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.