AU kursuskatalog arkiv

Kac-Moody algebraer (Q1+Q2) (Honours) ( efterår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 32673

Formål

En introduktion til et centralt område i moderne algebra 

Obligatorisk program

For at kunne indstille sig til eksamen er det en forudsætning, at 4 ud af 6 afleveringsopgaver er afleveret og godkendt.

Indhold

Kac-Moody algebraer blev "opfundet" for 45 år siden af V. Kac (Moscow) og R. Moody (Edmonton, Canada) uafhængigt af hinanden. Begge blev inspireret af Serre's sætning om frembringere og relationer for semisimple Lie algebraer til at konstruere denne nye klasse af (uendeligt dimensionale) Lie algebraer. Disse er blevet intensivt studeret fra mange forskellige vinkler lige siden, og teorien har givet anledning til anvendelser indenfor en række felter spændende fra talteori til matematisk fysik.

Kurset vil give en introduktion til emnet ud fra en algebraisk tilgangsvinkel. Vi vil begynde med at indføre generaliserede Cartan matricer og studere de tilhørende rodsystemer. I modsætning til det ordinære tilfælde vil der som regel være uendeligt mange rødder, og der kan forekomme såkaldt imaginære rødder. Vi skal vise, hvordan man herfra kan komme frem til Kac-Moody algebraer ved at bruge ovenfor omtalte sætning af Serre som model.

Kurset vil ikke forudsætte kendskab til semisimple Lie algebraer. Vi vil dog ofte vælge eksempler fra denne vigtige klasse af endeligt dimensionale Lie algebraer til at illustrere og motivere de resultater, vi kommer frem til.

Faglige forudsætninger

Algebra

Underviser

Henning Haahr Andersen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.

Litteratur

V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras , Cambridge University Press, 1995.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Særligt om dette kursus

Intet

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• ræsonnere om gyldigheden af kursets centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem,
• reflektere over sammenhængen mellem kursets centrale resultater,
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber til at analysere på konkrete eksempler og opgaver
• diskutere et foreskrevet delemne, der ikke behandles ved forelæsningerne, ved at anvende kursets teori på det.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en større skriftlig opgave (min. 6 sider), som afleveres i løbet af kurset.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 25 minutter, uden forberedelse.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.