AU kursuskatalog arkiv

Talteori (Q1+Q2) (Honours) ( efterår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter (Efterår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 32677

Formål

At introducere og udforske centrale dele af algebraisk, analytisk og  diofantisk talteori. 

Obligatorisk program

Intet

Indhold

I et berømt citat beskrev Carl Friedrich Gauss matematikken som videnskabernes dronning og aritmetikken som matematikkens dronning . I dette kursus beskæftiger vi os med flere aspekter af aritmetikken, og dækker forskellige grene af feltet.

Vi vil dække elementer af algebraisk talteori, diofantisk analyse og analytisk talteori. Indenfor algebraisk talteori vil vi beskæftige os med kvadratisk reciprocitet og entydig faktorisering. Indenfor diofantisk analyse vil vi studere rationelle og heltallige løsninger til algebraiske ligninger. Indenfor analytisk talteori vil vi beskæftige os med at udregne antallet af primtal mindre end et givet tal ved hjælp af Riemmans $\zeta$-funktion og relaterede funktioner.

Ved kursets afslutning vil de studerende have stiftet bekendskab med en række af emner og metoder i talteori og vil være klædt på til at studere videregående emner indenfor teorien.

Faglige forudsætninger

Kurserne Algebra og Kompleks funktionsteori

Underviser

Simon Kristensen og Alexei Venkov

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Dansk og/eller engelsk

Litteratur

G. Everest and T. Ward: An Introduction to Number Theory , Graduate Texts in Mathematics 232, Springer-Verlag, 2005. (1. kvarter)
H. Davenport: Multiplicative Number Theory , Graduate Texts in Mathematics 74, Springer-Verlag, 2000. (2. kvarter).

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• ræsonnere om gyldigheden af centrale resultater indenfor algebraisk, analytisk og diofantisk talteori ved at give stringente, detaljerede beviser for dem
• reflektere om relationer mellem centrale resultater indenfor og på tværs af forskellige emner i talteori.
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete aritmetiske eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne af talteorien på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt
• integrere begreber fra analyse, algebra og aritmetik

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to målepunkter. Det første målepunkt er et større skriftligt arbejde (min. 15 sider), med en fyldestgørende gennemgang af et emne indenfor talteori.

Det andet målepunkt er et mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 20 minutter forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter det første målepunkt 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.