AU kursuskatalog arkiv

Stokastisk geometri (Q1 + Q2) ( efterår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 1. + 2. kvarter, efterår 2011.
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 32537

Formål

Kurset er en introduktion i grundlæggende begreber i stokastisk geometri med speciel vægt på redskaber fra konveks geometri og integral geometri.

Obligatorisk program

Aktiv deltagelse i øvelser.

Indhold

Kurset indledes med en definition af tilfældige lukkede mængder (TLM) i det >em>d-dimensionale rum og deres invariansegenskaber såsom stationaritæt og isotropi. Som eksempler på enkle karakteristika af TLMs diskuterer vi volumensfraktionen og kontaktfordelingsfunktionen. Efter en ekskursion ud i konveks geometri, som omfatter definitionen af indre volumina, den principale kinematiske formel og Croftons formel, definerer vi quermasstæthederne for stationære TLMs.

Den anden vigtige model i stokastisk geometri er den (markerede) punktprocess. Vi beviser Campbells sætning og diskuterer palmfordelinger i den stationære tilfælde. Den (ikke nødvendigvis stationære) Poisson punktprocess bliver introduceret og dens eksistens og entydelighed afledes på detaljeret måde. Desuden betragter vi partikelprocesser og processer af affine rum. Til sidst bliver den Boolske model introduceret, som eksempel på en TLM, hvis karakteristika kan beregnes eksplicit, i en form som kun afhænger af intensiteten og fordelingen af den typiske partikel.

Faglige forudsætninger

Målteori.

Underviser

Markus Kiderlen.

Undervisnings- og arbejdsform

3 timer forlæsning og 1 time øvelser hver uge.

Litteratur

Kurset bygger hovedsageligt på den tyske bog R. Schneider, and W. Weil: Stochastische Geometrie, Teubner, Stuttgart, 2000.

Der findes en udvidet (ca. 700 sider) engelsk oversættelse: R. Schneider, and W. Weil: Stochastic and Integral Geometry, Springer, New York, 2008.

Foruden kan læses: A. Baddeley, I. Bárány, R. Schneider, W. Weil: Stochastic Geometry, Springer, New York, 2007.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside https://mit.au.dk// kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 2. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk// fra d. 1. - 15. maj 2011.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområder at kunne:

• gengive og illustrere definitionerne af grundlæggende begreber som tilfældige lukkede mængder, kapacitætsfunktionaler, punktprocesser, quermasstætheder, kontaktfordelingsfunktioner og Boolske modeller,
• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem; resultaterne omfatter den principale kinematiske formel og Croftons formel, eksistens- og entydelighedsudsagn for Poisson processer, og beviset for eksistensen af Boolske modeller,
• kombinere begreber fra integral geometri og konveks geometri med målteori for at opnå resultater om tilfældige mængder og punktprocesser,
• anvende teknikker, resultater og begreber fra kurset til at løse foreskrevne opgaver,
• sætte sig ind i en øvelsesopgave enten alene eller i en lille projektgruppe og præsentere denne for sine medstuderende mundligt med tilhørende skriftlige noter, og
• vise hvordan grundlæggende reelle karakteristika for en tilfældig mængde kan estimeres i en konkret situation, eventuelt under modelantagelser.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Den mundtlige eksamen varer ca. 25 minutter efter en forberedelse af 30 minutters varighed.