Stokastisk geometri - Honours Course (Q1 + Q2) ( efterår 2011 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
engelsk
-
Niveau:
Honours kandidatkursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter, efterår 2011.
-
Timer per uge:
4
-
Deltagerbegrænsning:
Ingen
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
32614
Formål
Kurset er en introduktion i grundlæggende begreber og koncepter i stochastisk geometri med speciel vægt på redskaber fra konveks geometri og integral geometri.
Obligatorisk program
Foredrag af mindst 20 minutters varighed om et emne, der supplerer kursusindholdet, sammen med et skrevet 2-3 siders resumé.
Indhold
Kurset indledes med en definition af tilfældige lukkede mængder (TLM) i
det >em>d-dimensionale rum og deres invariansegenskaber såsom stationaritæt
og isotropi. Som eksempler på enkle karakteristika af TLMs diskuterer vi
volumensfraktionen og kontaktfordelingsfunktionen. Efter en ekskursion ud i
konveksgeometri, som omfatter definitionen af indre volumina, den principale
kinematiske formel og Croftons formel, definerer vi quermasstæthederne for
stationære TLMs.
Den anden vigtige model i stokastisk geometri er den (markerede) punktprocess.
Vi beviser Campbells sætning og diskuterer palmfordelinger i den
stationære tilfælde. Den (ikke nødvendigvis stationære) Poisson punktprocess
bliver introduceret og dens eksistens og entydelighed afledes på detaljeret
måde. Desuden betragter vi partikelprocesser og processer af affine rum. Til
sidst bliver det Boolske model introduceret, som en eksempel på en TLM,
hvis karakteristika kan beregnes eksplicit, i en form som kun afhænger af
intensitæten og fordelingen af den typiske partikel.
Faglige forudsætninger
Målteori.
Underviser
Markus Kiderlen.
Undervisnings- og arbejdsform
3 timer forlæsning og 1 times øvelser hver uge. Hver anden uge uddeles materiale, enten som supplement til kurset eller til videre fordybelse i udvalgte emner.
Litteratur
Kurset bygger hovedsageligt på den tyske bog
R. Schneider, and W. Weil: Stochastische Geometrie, Teubner, Stuttgart,
2000.
Der findes en udvidet (ca. 700 sider) engelsk oversættelse:
R. Schneider, and W. Weil: Stochastic and Integral Geometry, Springer, New
York, 2008.
Foruden kan læses:
A. Baddeley, I. Bárány, R. Schneider, W. Weil: Stochastic Geometry, Springer,
New York, 2007.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
https://mit.au.dk//
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding på selvbetjeningen
https://mit.au.dk//
fra d. 1. - 15. maj 2011.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområder
at kunne:
-
illustrere og reflektere grundlæggende begreber som tilfældige
lukkede mængder, kapacitetsfunktionaler, punktprocesser, quermasstætheder,
kontaktfordelingsfunktioner og Boolske modeller,
-
reflektere over relationerne mellem kursets centrale resultater, gengive resultaterne og give stringente, detaljerede beviser for
dem; resultaterne omfatter den principale kinematiske formel og Croftons
formel, eksistens- og entydelighedsudsagn for Poisson processer,
og beviset for eksistensen af Boolske modeller,
-
kombinere begreber fra integralgeometri og konveksgeometri med målteori
for at opnå resultater om tilfældige mængder og punktprocesser, som i givet fald udvider resultater fra kurset,
-
anvende og analysere teknikker, resultater og begreber fra kurset til at løse komplekse problemer,
-
selvstændigt sætte sig ind i materiale, der er relateret til kursets emner
-
være i stand til at bruge og formidle ens viden på en velstruktureret måde og med god effektivitet,
-
sætte kurset i sammenhæng ved at diskutere, hvordan klassiske resultater i sandsynlighedesteori generaliserers.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver. Den første delprøve er et mundligt foredrag foran klassen af mindst 20 min. varighed, med et skriftligt resumé på 2-3 sider. Den anden delprøve er en mundltig eksamen, som varer ca. 25 minutter, med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler,
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
