Geometri ( forår 2008 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Grundkursus
-
Semester/kvarter:
3. og 4. kvarter
-
Timer per uge:
7
-
Deltagerbegrænsning:
Ingen
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
6935
Formål
At forsyne studenterne med de matematiske redskaber som er nødvendige for at besvare bl.a. følgende spørgsmål:
- Flader kan være krumme. Hvad betyder det? Hvordan kan man måle krumning?
- Hvad er en "ret linie" på en krum flade? Hvor mange findes der? Hvorfor optræder spiralformer overalt i naturen?
- Hvad er forholdet mellem det lineære og det ikke-lineære?
- Hvorfor er parallelaksionet fra antikken stadigvæk relevant idag?
Obligatorisk program
For at kunne indstille sig til eksamen, er det en forudsætning, at 8 afleveringsopgaver er afleveret og godkendt. Den ene af disse kan afløses af en godkendt multiple-choise test.
Indhold
Differentialgeometri for kurver og flader. Kurveteoriens geometriske hovedsætning. Metriske og topologiske rum. Kompakthed. Implicit funktions sætning. Eksistens og entydighed for løsning af sædvanlige differentialligninger. Første og anden fundamentalform. Gauss krumning. Teorema Egregium. Geodretiske kurver. Vinkelsum af en geodretisk trekant. Den ikke-euklidiske plan.
Læringsmål
Efter fuldført kursusforløb skal studenten være i stand til at
- analysere kurver og fladers krumningsegenskaber i rummet, og relatere disse til begreber fra den klassiske geometri, såsom længde- og vinkelmål
- anvende metoder fra lineær algebra og analyse til at studere tangentplaner og differentialer som lokale approsimationer til ikke-lineære flader og differentiable afbildninger.
- anvende teorien for sædvanlige differentialligninger til beskrivelse af kurver i rummet
- beherske samspillet mellem lineær algebra og differentiabilitet
- beskrive og identificere geodætiske kurver, og diskutere parallitet i denne forbindelse
Faglige forudsætninger
Lineær algebra og Matematisk Analyse 1 + 2.
Underviser
Ib Madsen / Kasper Andersen.
Undervisnings- og arbejdsform
4 timers forelæsninger og 3 timers teoretiske øvelser om ugen. En del af øvelsestiden bruges til, at de studerende holder foredrag for hinanden til belysning af kursets teori.
Dansk
Litteratur
Manfredo P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976, samt Noter til geometri (2007).
Skemaplacering (forelæsninger)
Blokpar C, mandag 12-14 + onsdag 12-14
Eksamensterminer
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: August
Udbyder
Institut for Matematiske Fag
Indgår i følgende studieordninger
Bacheloruddannelsen i Matematik
Indgår i følgende fagpakker
Sidefagspakke i matematik med geometri og analyse
Valgfrit element i:
Overbygningspakke i matematik, Sidefagspakke i matematik, Grundpakke i matematik
Studieordning og bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med ekstern censur
En mundtlig prøve på 1/2 time med 1/2 times forberedelse med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Bedømmelse efter 7-trinsskalaen med ekstern censor.
Vurderingskriterier:
De studerende skal kunne: forklare og diskutere kursets centrale sætninger og beviser; anvende de fundamentale begreber og resultater i konkrete eksempler.
