Harmonisk analyse ( efterår 2007 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter (Efterår 2007)
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
Nej.
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7754
Formål
At introducere den teoretiske baggrund for Fourieranalyse på grupper, med de klassiske Fourierrækker og Fourierintegraler som specialtilfælde.
Obligatorisk program
Nej.
Indhold
Harmonisk analyse er studiet af funktioner på en gruppe, hvor studiet tager den underliggende gruppestruktur i betragtning. Hvad man ønsker er at dekomponere funktionerne som en superposition af gruppens karakterer, dvs af de kontinuerte homomorfier af gruppen ind i cirkelgruppen. Så gruppekaraktererne er de fundamentale byggesten. Hvis gruppen er de reelle tal eller cirkelgruppen, så er disse byggesten de velkendte eksponentialfunktioner, så her bliver den harmoniske analyse til den klassiske Fourieranalyse.
Et væsentligt hjælpemiddel er Haarmålet. Dette mål spiller den samme rolle på lokalkompakte grupper som Lebesguemålet spiller på den reelle akse.
I dette kursus skal vi koncentrere os om teorien for funktioner på abelske grupper.
Teorien har vigtige anvendelser, for eksempel til signalprocessering. Selv for endelige grupper har teorien interessante konsekvenser.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
-
sammenholde centrale resultater
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
-
kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
-
redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater
Faglige forudsætninger
Svarende til kurset "Reel Analyse".
Underviser
Henrik Stetkær
Undervisnings- og arbejdsform
3-4 timers forelæsninger, seminarer og opgaveregning om ugen.
Litteratur
Endnu ikke fastlagt.
Litteratur
Not yet decided.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk/
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. maj 2007.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver. Den første delprøve er enten et større skriftligt arbejde eller et seminarforedrag inkluderende skriftligt materiale.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 25 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
