Morse teori - aflyst! ( forår 2008 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
3. + 4. kvarter (Forår 2008)
-
Timer per uge:
4
-
Deltagerbegrænsning:
Ingen.
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7954
Formål
At undersøge Morse teori for rummet af kurver på en Riemannsk mangfoldighed,
og relatere de kritiske punkter for energi-funktionalet til mangfoldigheder af
geodætiske kurver. At anvende ovenstående teori til at vise Freudenthal's
suspensionssætning og Bott's periodicitets sætning.
Obligatorisk program
Deltagelse i forelæsningerne.
Indhold
Morse funktioner på mangfoldigheder. Energien af en kurve. Hessian-formen
af energi funktionalet og dens nulrum. Den topologiske struktur af løkkerummet.
Relationer mellem topologi og krumning. Mangfoldigheder af minimale
geodæter. Freudenthals suspensions sætning. Periodicitetssætningen for
den unitære gruppe.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets
emneområde at kunne:
-
forklare de vigtigste elementer i Morse teori, herunder egenskaber
ved ikke-degenerede kritiske punkter og deres Morse index, samt den
cellulære homologi som udspringer af en Morse funktion,
-
forklare Morse teorien, som hører til energifunktionalet på rummet
af kurver i en Riemannsk mangfoldighed, og relatere Morse index til
Jacobi felter, bevise Freudenthal's suspensions sætning,
-
anvende den generelle teori på rummet af kurver i sfærer og i
kompakte Lie grupper, specielt den unitære gruppe,
-
bevise Bott's periodicitets sætning.
Faglige forudsætninger
Introducerende kursus i algebraisk topologi og et kursus i Riemannsk geometri.
Underviser
Johan Dupont og Ib Madsen
Undervisnings- og arbejdsform
Forelæsninger 3 timer ugenligt suppleret med 1 times øvelser og diskussioner.
Litteratur
J. Milnor: "Morse Theory", Annals of Math. Studies, No. 51, Princeton University Press, 1963.
Eksamensterminer
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 3. - 14. december 2007.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Studieordning og bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er en skriftlig prøve, som delvis består af
"multiple choice" spørgsmål.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 20 minutter med 30 minutters forberedelse
og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
