Vær opmærksom på at dette website indeholder et arkiv med historiske data. Det aktuelle kursuskatalog findes på kursuskatalog.au.dk

AU kursuskatalog arkiv

[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]

Repræsentationsteori ( forår 2008 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

  • Uddannelsessprog: (se under Undervisnings- og arbejdsform)
  • Niveau: Overbygningskursus
  • Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2008)
  • Timer per uge: 4
  • Deltagerbegrænsning: Ingen.
  • Undervisningssted: Århus
  • Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
  • Udbud ID: 7063

Formål

En introduktion til et centralt område i moderne algebra.

Indhold

En repræsentation af en gruppe er en gruppehomomorfi fra gruppen ind i den generelle lineære gruppe bestående af invertible transformationer på et vektorrum. Repræsentationer udgør et vigtig redskab for studiet af grupper. Ved at repræsentere en abstrakt gruppe ved matricer kan man ofte udføre eksplicitte beregninger. Repræsentionsteori optræder naturligt i mange grene af såvel matematik som naturvidenskab i det hele taget. Således giver en gruppevirkning på en mangfoldighed anledning til repræsentationer på (ko)homologirummene for mangfoldigheden. Klassifikationen af krystaller forstås bedst ved hjælp af repræsentionsteori for endelige grupper.

I kurset kigger vi først på repræsentationer af endelige grupper, mest over legemet af de komplekse tal. Her er repræsentationer bestemt ved deres karakterer (visse funktioner på gruppen), og vi vil lære metoder for at finde alle karakterer på en gruppe. Vi kigger på inducerede repræsentationer. Som anvendelse viser vi Burnsides sætning: Hvis gruppeorden er et produkt af to primtal, så er gruppen opløselig.

Derefter kigger vi nærmere på repræsentationsteorien for symmetriske grupper. Der findes en tæt forbindelse mellem deres repræsentationer og dem af generelle lineære grupper. Det benytter vi for at forlade de endelige grupper og for at kigge på nogle uendelige grupper.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

  • gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
  • sammenholde centrale resultater
  • anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
  • sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter

      • Faglige forudsætninger

      Grundkurset Algebra

      Underviser

      Jens Carsten Jantzen

      Undervisnings- og arbejdsform

      4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.

      Litteratur

      Fastlægges senere.

      Litteratur

      G. James & M. Liebeck: "Representations and Characters of Groups", 2nd ed., Cambridge University Press 2001. Og egne noter.

      Kursushjemmeside

      Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
      http://www.imf.au.dk
      kort før kursets start.

      Eksamensterminer

      Eksamen: 4. kvarter

      Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

      Udbyder

      Institut for Matematiske Fag (IMF)

      Tilmelding til undervisning

      Tilmelding i Informationen på Institut for Matematisk Fag fra d. 3. - 14. december 2007.

      Særligt om dette kursus

      Intet.

      Studieordning og bedømmelse


      Bacheloruddannelsen i matematik

      • Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur


      Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

      Evalueringen foregår ved to delprøver.

      Den første delprøve er et kort seminarforedrag med tilhørende skriftlig material udarbejdet af den studerende.

      Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter uden forberedelse og uden hjælpemidler.

      Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.