Riemann flader ( forår 2008 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
3. + 4. kvarter (Forår 2008)
-
Timer per uge:
3-4
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7071
Formål
Riemann flader er vigtige indenfor flere
områder af matematikken, så som topologi, analyse og
også algebraisk geometri. I fysik er de en fundamental
byggesten i konform felt teori og i streng teori.
Formålet med kurset
er at introducere Riemannfladers fundamentale egenskaber.
Indhold
En Riemann flade er en flade med en kompleks struktur; og
således kan man behandle tilstrækkeligt små omegne af
dens punkter som åbne delmængder af den komplekse plan. Vi vil
udvide de sædvanlige begreber fra kompleks funktionsteori til
Riemann flader ved at definere holomorfe og meromorfe funktioner
på Riemann flader og bevise f.eks. identitetssætningen,
maksimumsætningen og residue-sætningen.
Vi vil især studere kompakte Riemann flader. Vi vil bevise den
berømte Riemann-Roch sætning ved at relatere funktioner på
fladen til dens "form", og Abels' sætning om at finde
meromorfe funktioner med givne nulpunkter og poler. Hvis tiden
tillader det, vil vi ogs\aa{} studere Hurwitz' sætning om
automorfierne af en kompakt Riemann flade af højere genus (dvs.
"kompliceret form").
Kurset kan tage mange forskellige retninger.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets
emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede
beviser for dem
-
sammenholde centrale resultater
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber
på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og
præsentere udvalgte dele af dette delemne skriftligt
-
kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
-
redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske
resultater
Faglige forudsætninger
Topologi eller Riemannsk Geometri.
Underviser
Jørgen Ellegaard Andersen
Undervisnings- og arbejdsform
3-4 undervisningstimer om ugen.
Litteratur
O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer, GTM 81.
H.M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces, Springer, GTM 71.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 3. - 14. december 2007.
Studieordning og bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
-
Undervisningsdeltagelse, bedømt efter Bestået/ikke bestået med intern censur
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er enten et større skriftligt arbejde
eller et seminarforedrag inkluderende skriftligt materiale.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 20 minutter, med 25 minutters
forberedelse, og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
