Riemannsk geometri ( efterår 2007 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter (Efterår 2007)
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
8071
Formål
Formålet med kurset er at dække grundlæggende Riemannsk geometri med fokus på at nå lokal-globale resultater, specielt Gauss-Bonnet-sætningen.
Indhold
Kurset vil begynde med en gennemgang af det grundlæggende indenfor generel mangfoldighedsteori, deriblandt tensorer, vektorbundter og differentialformer. Vi vil derefter fortsætte med at dække kernen af klassisk Riemannsk geometri, deriblandt metrikker, konnektioner, krumning og geodæter på Riemannske mangfoldigheder. Vi vil derefter bruge disse redskaber til at diskutere anvendelser, så som rum med konstant krumning, indlejrede flader og Jacobifelter.
Et primært mål for kurset vil være at bevise visse lokal-globale resultater især med fokus på Gauss-Bonnet-sætningen for lukkede flader, hvilket giver en forbindelse mellem krumningen og genus af en sådan flade. Hvis tiden tillader det, vil vi derefter genfortolke Gauss-Bonnet-sætningen i termer af de Rhams teori om differentialformer og Chern-Weil-teorien om karakteristiske klasser.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere dette skriftligt
-
redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater
Faglige forudsætninger
Geometri
Underviser
Alex James Bene
Undervisnings- og arbejdsform
3-4 timers forelæsninger om ugen
Engelsk
Litteratur
John M. Lee, "Riemannian Manifolds, an Introduction to Curvature", Springer Graduate Texts in Mathematics 176, New York, 1997.
(Supplerende læsning) Shigeyuki Morita, "Geometry of Differntial Forms", Translations of the American Mathematical Society 201, Providence, RI, 2001.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk/
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. maj 2007.
Studieordning og bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er en skriftlig hjemmeopgave.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, uden forberedelse.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
