Transcendente tal ( efterår 2007 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
1. + 2. kvarter (Efterår 2007)
-
Timer per uge:
-
Deltagerbegrænsning:
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7758
Formål
At give en fyldestgørende gemmengang af klassifikationer af transcendente tal, med særlig vægt på Mahlers og Koksmas klassifikationer.
Indhold
Transcendente tal er de tal, der ikke tilfredsstiller nogen polynomiel ligning med heltals-koefficienter. Det er velkendt, at næsten alle tal er transcendente. For at kunne forstå vores talsystem, er det interessant at forstå de forskellige typer af transcendente tal, der findes. Det vigtigste værktøj til at klassificere transcendente tal er studiet af deres approksimationsegenskaber ved algebraiske tal.
Vi vil give forskellige klassifikationer af transcendente tal via deres approksimationsegenskaber. De to mest anvendte klassifikationer blev introduceret af Mahler og Koksma. Disse to kommer til at spille en central rolle i kurset. Vi vil vise, at disse klassifikationer er fornuftige, på den måde, at alle de klasser, vi definerer, er såvel naturlige som ikke-tomme. For at gøre dette, trækker vi på metoder fra algebra, målteori, analyse og talteori. Ydermere vil vi berøre svære eksistens- og ikke-eksistens-problemer for tal, der tilfredsstiller bestemte approksimationsegenskaber.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
-
sammenholde centrale resultater
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og gøre et af følgende:
- Præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
- Udarbejde et større skriftligt arbejde, med en fyldestgørende gennemgang af det valgte delemne
-
kombinere begreber fra algebra, analyse, målteori og talteori
-
redegøre for, hvorledes kurset generaliserer elementære resultater
Faglige forudsætninger
Diofantinsk Analyse (anbefalet)
Underviser
Simon Kristensen
Undervisnings- og arbejdsform
4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.
Litteratur
Y. Bugeaud: "Approximation by Algebraic Numbers", Cambridge University Press, 2004.
Supplementary notes
Litteratur
Y. Bugeaud: "Approximation by Algebraic Numbers", Cambridge University Press, 2004.
Supplerende noter.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk/
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 2. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. maj 2007.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve kan være en præsentation af udvalgte dele af et emne i transcendental talteori med tilhørende skriftlige noter eller et større skriftligt arbejde, med en fyldestgørende gennemgang af et emne i transcendental talteori.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 20 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.
