Videregående analyse ( forår 2008 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
(se under Undervisnings- og arbejdsform)
-
Niveau:
Overbygningskursus
-
Semester/kvarter:
3. + 4. kvarter (Forår 2008)
-
Timer per uge:
4
-
Deltagerbegrænsning:
Ingen
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
7068
Formål
Formålet med kurset er at give en introduktion til grundbegreberne i den videregående (funktional) analyse, samt at få introduceret nogle af de fundamentale metoder til håndtering af operatorer i Hilbert rum.
Obligatorisk program
Afleveringsopgaver.
Indhold
Kurset giver en fortsættelse af den introduktion til funktional analyse, som blev påbegyndt i kurserne 'Reel Analyse' og 'Målteori'. Med udgangspunkt i en introduktion til den generelle teori for topologiske vektorrum vil vi give en beskrivelse af de kommutative $C^*$-algebraer. Som en anvendelse udvikler vi derefter spektral teorien for en begrænset normal operator på et Hilbert rum - først den kontinuerte funktions kalkyle, som følger direkte af karakteriseringen af de kommutative $C^*$-algebraer, og dernæst Borel-kalkylen, som anvender den abstrakte integrations teori fra 'Målteori'. Yderligere emner vil blive inddraget i det omfang tiden tillader det.
I løbet af kurset vil vi identificere emner som kan benyttes til at gøre kurset til et bachelorprojekt for studerende der måtte
ønske det.
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets
emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede
beviser for dem
-
sammenholde centrale resultater
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber
på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og
præsentere udvalgte dele af dette delemne skriftligt.
Faglige forudsætninger
Kurserne Reel analyse og Målteori
Underviser
Klaus Thomsen
Undervisnings- og arbejdsform
4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser.
Litteratur
W. Rudin: "Functional Analysis", Tata McGraw-Hill, New Delhi 1973.
Noter.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.
Eksamensterminer
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren.
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 3. - 14. december 2007.
Bedømmelse
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med ekstern censur.
Hvis kurset tages som bachelorprojekt, evalueres kurset
ved et større skriftligt projekt.
Hvis kurset ikke tages som bachelorprojekt, så evalueres
kurset ved to delprøver.
Den første delprøve består af en skriftlig opgave, der
afleveres ved starten af det andet kvarter.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 20 minutter, med 20 minutters forberedelse og
alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
