[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]
Formålet med kurset er at introducere den studerende til konvekse mængder i euklidiske rum med henblik på anvendelse i matematisk-konomiske og operationsanalytiske sammenhænge.
En mængde er konveks, hvis den indeholder liniestykket mellem dens punkter. I kurset lægges speciel vægt på den algebraiske og topologiske struktur af konvekse mængder givet ved et endeligt system af lineære uligheder eller ved kvadratiske former.
At the end of the course the student should be able to
- Reproduce and illustrate central definitions concerning convex sets
- Apply basic techniques, results and concepts to solve prescribed exercises
- Formulate and solve openly formulated exercises concerning a problem related to convex sets
- Give arguments for and be able to apply central techniques to construction of hyperplanes, halfspaces and cones as sets of solutions to systems of equations or inequalities
- Give arguments for and be able to apply topological properties for convex sets
- Give arguments for and be able to apply separation theorems for convex sets
- Analyze a polyhedral set given as a finitely generated set from points and directions
- Construct extremal points and extremal directions for polyhedral sets given as sets of solutions to systems of equations or inequalities
- Evaluate the application of polars to solve theoretical problems for convex sets
Der gives en introduktion til generelle egenskaber ved konvekse mængder. Specielle konvekse mængder som hyperplaner, halvrum, løsninger til systemer af lineære eller kvadratiske uligheder og polyhedrale mængder bliver ofret særlig opmærksomhed. Konvekse kegler og polaritet undersøges nærmere. Det undersøges, hvordan konvekse mængder kan opbygges af ekstremalpunkter og ekstremale retninger.
Kurset danner grundlag for kurset Konvekse Funktioner i 5. kvarter.
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne
- Gengive og illustrere centrale definitioner vedrørende konvekse mængder
- Anvende grundlæggende teknikker, resultater og begreber til at løse foreskrevne opgaver
- Formulere og løse åbne opgaver vedrørende et problem relateret til konvekse mængder
- Begrunde og anvende centrale teknikker til konstruktion af hyperplaner, halvrum og kegler som løsningsmængder til ligninger eller uligheder.
- Kunne begrunde og anvende topologiske egenskaber ved konvekse mængder
- Kunne begrunde og anvende separationssætninger for konvekse mængder
- Analysere polyhedrale mængder givet som endeligt frembragte punktmængder ud fra punkter og retninger
- Konstruere ekstremale punkter og ekstremale retninger for polyhedrale mængder givet som løsningsmængde til et system af endelig mange ligninger eller endelig mange uligheder
- Vurdere anvendelse af polarer til at løse teoretiske problemer for konvekse mængder
Calculus 1 og 2, Matematisk Analyse 1. Det forudsættes, at Lineær Algebra følges sideløbende.
Niels Lauritzen
Forelæsninger: 3 timer om ugen
Øvelser og konsultation: 3 timer om ugen
Niels Lauritzen "Lectures on Convex Sets", forelæsningsnoter.
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: August
Institut for Matematiske Fag (IMF)
En obligatorisk opgave, der bedømmes med 7-trinsskalaen ved intern censur.
Opgaven stilles ved undervisningens afslutning og afleveres senest den 30. juni.
