Vær opmærksom på at dette website indeholder et arkiv med historiske data. Det aktuelle kursuskatalog findes på kursuskatalog.au.dk

AU kursuskatalog arkiv

[Forside] [Hovedområder] [Perioder] [Udannelser] [Alle kurser på en side]

Konvekse mængder ( forår 2009 - 5 ECTS )

Rammer for udbud

  • Uddannelsessprog: dansk
  • Niveau: Grundkursus
  • Semester/kvarter: 4. kvarter
  • Timer per uge: 6
  • Deltagerbegrænsning: Ingen
  • Undervisningssted: Århus
  • Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
  • Udbud ID: 13734

Formål

Formålet med kurset er at introducere den studerende til konvekse mængder i euklidiske rum med henblik på anvendelse i matematisk-konomiske og operationsanalytiske sammenhænge.
En mængde er konveks, hvis den indeholder liniestykket mellem dens punkter. I kurset lægges speciel vægt på den algebraiske og topologiske struktur af konvekse mængder givet ved et endeligt system af lineære uligheder eller ved kvadratiske former.

Obligatorisk program

At the end of the course the student should be able to

- Reproduce and illustrate central definitions concerning convex sets

- Apply basic techniques, results and concepts to solve prescribed exercises

- Formulate and solve openly formulated exercises concerning a problem related to convex sets

- Give arguments for and be able to apply central techniques to construction of hyperplanes, halfspaces and cones as sets of solutions to systems of equations or inequalities

- Give arguments for and be able to apply topological properties for convex sets

- Give arguments for and be able to apply separation theorems for convex sets

- Analyze a polyhedral set given as a finitely generated set from points and directions

- Construct extremal points and extremal directions for polyhedral sets given as sets of solutions to systems of equations or inequalities

- Evaluate the application of polars to solve theoretical problems for convex sets

Indhold

Der gives en introduktion til generelle egenskaber ved konvekse mængder. Specielle konvekse mængder som hyperplaner, halvrum, løsninger til systemer af lineære eller kvadratiske uligheder og polyhedrale mængder bliver ofret særlig opmærksomhed. Konvekse kegler og polaritet undersøges nærmere. Det undersøges, hvordan konvekse mængder kan opbygges af ekstremalpunkter og ekstremale retninger.

Kurset danner grundlag for kurset Konvekse Funktioner i 5. kvarter.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne

- Gengive og illustrere centrale definitioner vedrørende konvekse mængder

- Anvende grundlæggende teknikker, resultater og begreber til at løse foreskrevne opgaver

- Formulere og løse åbne opgaver vedrørende et problem relateret til konvekse mængder

- Begrunde og anvende centrale teknikker til konstruktion af hyperplaner, halvrum og kegler som løsningsmængder til ligninger eller uligheder.

- Kunne begrunde og anvende topologiske egenskaber ved konvekse mængder

- Kunne begrunde og anvende separationssætninger for konvekse mængder

- Analysere polyhedrale mængder givet som endeligt frembragte punktmængder ud fra punkter og retninger

- Konstruere ekstremale punkter og ekstremale retninger for polyhedrale mængder givet som løsningsmængde til et system af endelig mange ligninger eller endelig mange uligheder

- Vurdere anvendelse af polarer til at løse teoretiske problemer for konvekse mængder

Faglige forudsætninger

Calculus 1 og 2, Matematisk Analyse 1. Det forudsættes, at Lineær Algebra følges sideløbende.

Underviser

Niels Lauritzen

Undervisnings- og arbejdsform

Forelæsninger: 3 timer om ugen
Øvelser og konsultation: 3 timer om ugen

Dansk

Litteratur

Niels Lauritzen "Lectures on Convex Sets", forelæsningsnoter.

Kursushjemmeside

http://aula.au.dk/courses/IMFKONMGDF09/

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: August

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Studieordning og bedømmelse

Bacheloruddannelsen i matematik-økonomi

  • Hj.opg., bedømt efter 7-skala med intern censur

Fagpakke: Matematisk programmering

  • Hj.opg., bedømt efter 7-skala med intern censur

Fagpakke: Optimering

  • Hj.opg., bedømt efter 7-skala med intern censur


En obligatorisk opgave, der bedømmes med 7-trinsskalaen ved intern censur.
Opgaven stilles ved undervisningens afslutning og afleveres senest den 30. juni.