AU kursuskatalog arkiv

Analyse på mangfoldigheder - aflyst! ( forår 2009 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2009)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen.
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 13765

Formål

Formålet er at give en introduktion til analyse på mangfoldigheder, herunder sammenhængen mellem geometrien og løsninger til differentialligninger; specielt studeres pseudo-differentialoperatorer, zeta funktioner samt varmeligningen og indekssætningen.

Obligatorisk program

Ingen.

Indhold

Kurset er en introduktion til spektral geometri, specielt studiet af globale og lokale invarianter på Riemannske mangfoldigheder.

Invarianterne opstår i studiet af spektre af f. eks. Laplace-operatorer og tilhørende varme- og bølgeligninger. Hertil hører Kac's berømte spørgsmål: Kan man høre en trommes form? Vi skal give den nødvendige baggrund fra Riemannsk geometri og se på eksempler i lav dimension. Spektral geometri har mange anvendelser, både i andre områder af matematik (indeks teori, karakteristiske klasser, differentialgeometri) og i matematisk fysik (gauge teori, streng teori). Der vil blive taget hensyn til deltagernes baggrund og interesser. Af mulige videregående emner kan nævnes determinanter af elliptiske operatorer.

Faglige forudsætninger

Kendskab til mangfoldigheder (undervisningen vil søge at tage hensyn til de studerendes forudsætninger.)

Underviser

Bent Ørsted

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser

Litteratur

Lærebogen vil hovedsageligt være nr 3. (nedenstående), men de andre referencer vil også være nyttige.

1. M. Beals, C. Fefferman, and R. Grossman, Strictly pseudoconvex domains in $\mathbb C^n$ , Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1983), 125-322.
2. T. P. Branson, and B. Ørsted, Explicit functional determinants in four dimenensions , Proc. Amer. Math. Soc. 113 (1991), 669-682.
3. P. B. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem , CRC Press 1995.
4. B. Osgood, R. Phillips, and P. Sarnak, Extremals of determinants of Laplacians , Journ. Func. Anal. 80 (1988), 148-211.
5. T. Sakai, Riemannian Geometry , Amer. Math. Soc. Transl. 149 , 1996.
6. M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory , Springer 2001, 2nd. ed.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. december 2008.

Særligt om dette kursus

Intet.

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
• kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater

Bedømmelse

• Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
5 xxxxx

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en mundtlig fremlæggelse af et delemne af ca. 30. min. varighed.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.