Modeller på et gitter: Fra Ising til Yang-Mills ( forår 2009 - 10 ECTS )
Rammer for udbud
-
Uddannelsessprog:
engelsk (eller dansk)
-
Niveau:
Kandidatkursus
-
Semester/kvarter:
3. + 4. kvarter (Forår 2009)
-
Timer per uge:
4
-
Deltagerbegrænsning:
Ingen speciel
-
Undervisningssted:
Århus
-
Hovedområde:
Det Naturvidenskabelige Fakultet
-
Udbud ID:
14525
Formål
At etablere det matematiske grundlag for klassisk statistisk mekanik for gitter systemer,
med fokus på konveksitet, og et øje på konkrete modeller.
Obligatorisk program
Intet
Indhold
Kurset vil omhandle den matematiske formulering af
klassisk statstisk mekanik for modeller på et gitter. Som eksempler
er der Ising og Heisenberg modellerne for magnetisme, gitter gasser,
og Yang-Mills gauge teori på et gitter.
Vi vil koncentrerer os om den matematiske struktur af teorien, med fokus
på konveksitet. I den sammenhæng får vi brug for Choquet's sætning som er en udvidelse
af Minkowski's sætning fra endelig dimension til uendelig dimension.
Minkowski siger at ethvert element af en kompakt konveks delmængde af $\mathbb{R}^n$
kan skrives som en konveks linear kombination af højst $n+1$ extremal punkter.
Et andet centralt element af konveksitets teori vi vil benytte os af er en
udvidelse af Legendre transformen fra funktioner på $\mathbb{R}^n$ til funktioner
på Banach rum. Vi skal analysere hvordan Legendre transformen
giver en dualitet mellem konvekse funktioner med knæk i grafen
og konvekse funktioner hvis grafer er lokalt lineære. Det giver os
værktøjerne til at arbejde stringent med og relatere begreber som symmetri brud
og fase overgang.
Faglige forudsætninger
Svarende til kurset Videregående Analyse
Underviser
Jacob Schach Møller
Undervisnings- og arbejdsform
3 timers forelæsninger og 1 times øvelser om ugen
Engelsk
Litteratur
Primær kilde:
Barry Simon:
The statistical mechanics of lattice gasses
,
Princeton series in Physics 1, Princeton University Press, 1993.
Secondary sources:
Robert Phelps:
Lectures on choquet's theorem
, 2. udgave, Lecture Notes in Mathematics 1757, Springer Verlag 2001.
Istvan Montvay og Gernot Münster:
Quantum fields on a lattice
Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1994.
James Glimm og Arthur Jaffe:
Quantum physics. A functional integral point of view
,
2. udgave, Springer Verlag 1987.
Kursushjemmeside
Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk
before the course starts.
Eksamensterminer
Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren
Udbyder
Institut for Matematiske Fag (IMF)
Tilmelding til undervisning
Tilmelding i Informationen på Institut for Matematiske Fag fra d. 1. - 15. december 2008.
Særligt om dette kursus
Intet
Læringsmål
Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets
emneområde at kunne:
-
gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede
beviser for dem
-
anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber
på konkrete eksempler og opgaver
-
sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og
præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende
mundtligt med tilhørende skriftlige noter
Bedømmelse
-
Mundtlig, bedømt efter 7-skala med intern censur
5 xxxxx
Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.
Evalueringen foregår ved to delprøver.
Den første delprøve er en mundtlig præsentation støttet af 4 siders
skriftligt materiale.
Den anden delprøve er en mundtlig eksamen,
som varer ca. 25 minutter,
med 30 minutters forberedelse
og alle sædvanlige hjælpemidler.
Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3
og den mundtlige eksamen 2/3.
