AU kursuskatalog arkiv

Lie algebraer (Q3+Q4) honours ( forår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen speciel
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 24715

Formål

At indføre Lie algebraer samt studere dem og deres struktur.    

Indhold

Dette kursus vil blive en indføring i Lie teori, et stort felt indenfor moderne matematik. Teorien har fået navn efter den norske matematiker Sophus Lie (1842-1899).

Lie algebraer spiller en vigtig rolle i flere forskellige matematiske discipliner. Vi vil benytte en ren algebraisk tilgangsvinkel til emnet med hovedvægt på teorien for endelig dimensionale komplekse Lie algebraer.

Først vil vi give de grundlæggende definitioner og udlede de første egenskaber ved Lie algebraer. Vi vil diskutere en række eksempler og konkrete realiseringer. Dernæst vil vi studere tre vigtige klasser: de nilpotente, de opløselige og de semisimple Lie algebraer. Sidstnævnte klasse vil være emnet for en tilbundsgående undersøgelse, hvor højdepunktet bliver en sætning (hovedresultatet i en artikel som er blevet kaldt `the greatest mathematical paper of all time'', se Math. Intel. 11 no. 3, 29-38), der klassificerer dem ved hjælp af såkaldte rodsystemer.

Gennem hele denne strukturteori for Lie algebraer vil vi lægge vægt på deres repræsentationer. Planen er i et efterfølgende kursus at udvikle teorien for semisimple Lie algebraer.

Faglige forudsætninger

Algebra

Underviser

Henning Haahr Andersen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning per uge inkl. øvelser.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Litteratur

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Særligt om dette kursus

Intet

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• analysere centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• reflektere over sammenhænge mellem de centrale sætninger
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• diskutere og forelæse over et tema indenfor kursets emneområde
• kombinere begreber fra kurset med andre vigtige emner i algebra.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve består i ovennævnte forelæsning og de dertil hørende noter.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 30 minutter, uden forberedelse.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.