AU kursuskatalog arkiv

Partielle differentialligninger (Q3+Q4) honours ( forår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen.
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 24718

Formål

Analyse af partielle differentialligninger.

Indhold

Vi studerer det såkaldte Cauchy problem for partielle differentialligninger. Eksistens og entydighed af løsning kan betragtes som generalisationer af de velkendte eksistens- og entydigssætninger for begyndelsesværdiproblemet for sædvanlige differentialligninger. Vi diskuterer også løsninger til konkrete ligninger underlagt andre typer begyndelses- eller randværdibetingelser. Eksemplerne inkluderer Laplace-, Schrödinger, bølge- og varmeledningsligningen.

Undervejs stifter vi bekendtskab med følgende redskaber/metoder: Reelanalytiske funktioner, Fourier-transformationen, Sobolev-rum, fundamentalløsninger, energi- og Hilbert-rums metoder, maksimumsprincipper og (måske) elliptisk regularitet.

Faglige forudsætninger

Reel analyse, Kompleks funktionsteori, Differentialligninger.

Underviser

Erik Skibsted

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers forelæsninger og øvelser om ugen.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Dansk, subsidiært engelsk.

Litteratur

L. C. Evans: Partial differential equations , GSM American Mathematical Society, 2000, 1. edition.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• Argumentere for rigtigheden af vigtige resultater i partielle differentialligninger ved at give stringente og detaljerede beviser for dem
• reflektere over relationer mellem vigtige resultater i partielle differentialligninger.
• anvende de vigtigste teknikker, resultater og begreber fra kurset til konkrete eksempler og opgaver i partielle differentialligninger,
• selvstændigt diskutere et opgivet emne ved at anvende kursets teori på det. Udvalgte resultater skal præsenteres mundtligt for de andre studerende med tilhørende skriftlige noter,
• integrere begreber fra algebra, analyse og topologi, og
• perspektivere kurset ved bl.a. at vise hvordan det generaliserer resultater fra lineære differentialligninger,

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen er delt i to målepunkter.

Første målepunkt er enten en længere skriftlig opgave eller en seminar præsentation af to timers varighed med tilhørende skritligt materiale. Emnet kan være dele af en forskningspublikation eller et kapitel fra en bog som den studerende læser alene.

Det andet målepunkt er en 25 minutters mundtlig eksamen med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

I tildelingen af karakteren vægtes første målepunkt med 1/3 og den mundtlige eksamen med 2/3.