AU kursuskatalog arkiv

Videregående talteori - aflyst! ( forår 2010 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2010)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 23300

Formål

At udforske de ideer og sammenhænge, der blev indført i kurset  Introduktion til Talteori yderligere, med speciel vægt på modulære  former, elliptiske kurver og diofantisk analyse.

Indhold

Kurset bygger på de koncepter og ideer, der blev indført i kurset Introduktion til Talteori. Vi fokuserer på to emner, nemlig samspillet mellem elliptiske kurver og analytisk talteori samt det klassiske studie af diofantisk analyse.

Med udgangspunkt i problemet om kongruente tal, dvs. de heltal, der forekommer som arealet af en retvinklet trekant med rationale sider, introducerer vi elliptiske kurver og elliptiske funktioner. Vi relaterer disse til værktøjer fra analytisk talteori via Hasse--Weil $L$-funktionen, der igen er relateret til modulære former via Hecke-teori. Vi vil også berøre den berømte Birch og Swinnerton-Dyer formodning.

I diofantisk analyse beskæftiger vi os med samspillet mellem diofantisk approksimation og diofantiske ligninger. I sin mest basale form handler diofantisk approksimation om approksimationen af reelle tal med rationale tal. På den anden side er diofantiske ligninger heltalsligninger til hvilke vi leder efter heltalsløsninger. I denne del af kurset dækker vi de Fields-medaljevindende resultater af Roth og Baker og anvender disse resultater på diofantiske ligninger såvel som på andre grene af talteorien.

Faglige forudsætninger

Kurset Introduktion til Talteori

Underviser

Simon Kristensen og Alexei Venkov

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge Engelsk og/eller dansk

Litteratur

N. Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 97. Springer-Verlag, New York, 1993.
Supplerende noter.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk fra d. 1. - 15. november 2009.

Eftertilmeldinger: Kontakt Maiken Kirdorf Nielsen, maiken@imf.au.dk

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

1. gengive centrale resultater indenfor talteorien og give stringente, detaljerede beviser for dem
2. sammenholde centrale resultater indenfor og på tværs af forskellige emner i talteori.
3. anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete aritmetiske eksempler og opgaver
4. sætte sig ind i et foreskrevet delemne af talteorien på selvstændig vis og gøre et af følgende:
   • Præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt i et 45 minutters foredrag med tilhørende skriftlige noter
   • Udarbejde et større skriftligt arbejde (min. 8 sider), med en fyldestgørende gennemgang af det valgte delemne
5. kombinere begreber fra analyse, algebra og aritmetik
6. redegøre for, hvorledes kurset generaliserer resultater fra Introduktion til Talteori

Bedømmelse

Kurset evalueres i to målepunkter, begge med intern censur. En samlet karakter gives efter 7-trinsskalaen.

Evalueringen foregår ved to målepunkter. Det første målepunkt kan være en præsentation (45 min.) af udvalgte dele af et emne i talteori med tilhørende skriftlige noter eller et større skriftligt arbejde (min. 8 sider), med en fyldestgørende gennemgang af et emne i talteori.

Det andet målepunkt er et mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 20 minutter forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter det første målepunkt 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.