AU kursuskatalog arkiv

Funktionalanalyse og spektralteori (Honours) ( forår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 29747

Formål

Analyse af ubegrænsede operatorer.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Mange centrale objekter i analyse, differentialgeometri og matematisk fysik er differentialoperatorer og således ubegrænsede operatorer. Derfor har vi et behov for at udvikle en udvidelse af spektralteorien fra Kurset i Videregående Analyse for at kunne forstå disse operatorer. Et vigtigt punkt er at kunne diagonalisere operatorer.

Vi starter ud med at definere ubegrænsede selvadjungerede operatorer og at etablere deres fundamentale egenskaber, som f.eks. at spektret er en delmængde af de reelle tal. Vi gennemgår en konstruktion af selvadjungerede operatorer ved udvidelse af en given symmetrisk operator via Cayley-transformationen og begrebet defektindekser. Herefter viser vi en version af spektralsætningen. Beviset baseres på spektralteori for begrænsede normale operatorer som studeret i kurset Videregående Analyse, specielt begrebet integration m.h.t. en familie af spektralprojektioner.

Vi studerer relationen mellem selvadjungerede operatorer og lukkede kvadratiske former, som er mere subtil end i det begrænsede tilfælde. Denne relation belyses ved eksemplet Sturm-Liouville operatorer. Vi introducerer Fourier-transformationen, som benyttes til at studere differentialoperatorer med konstante koefficienter på $\R^{n}$ og som værktøj for konstruktion af kompakte operatorer, jvf. Sobolevs indlejringssætninger.

Næste emne er teori til bestemmelse af spektret og dets natur; her optræder de kompakte operatorer naturligt. Et andet værktøj er Rayleigh-Ritz variationsformlen.

I det omfang tiden tillader det studeres mere systematisk teorien for selvadjungerede udvidelser (herunder Nelsons kommutatorsætning) og Stones sætning og måske mere generel semigruppeteori for Hilbert-rum.

Faglige forudsætninger

Videregående Analyse.

Underviser

Søren Fournais og Erik Skibsted (kursusansvarlig)

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers forelæsninger og øvelser om ugen.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Engelsk

Litteratur

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Særligt om dette kursus

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• Argumentere for rigtigheden af vigtige resultater i funktionalanalyse ved at give stringente og detaljerede beviser for dem
• reflektere over relationer mellem vigtige resultater i funktionalanalyse og spektralteori.
• anvende de vigtigste teknikker, resultater og begreber fra kurset til konkrete eksempler og opgaver i funktionalanalyse og spektralteori,
• selvstændigt diskutere et opgivet emne ved at anvende kursets teori på det. Udvalgte resultater skal præsenteres mundtligt for de andre studerende med tilhørende skriftlige noter,
• integrere begreber fra algebra, analyse og topologi, og
• perspektivere kurset ved at vise hvordan det generaliserer vigtige resultater fra lineær algebra og kurset "videregående analyse".

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Første delprøve er en længere skriftlig opgave.

Den anden delprøve er en 25 minutters mundtlig eksamen med 30 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

I tildelingen af karakteren vægtes første delprøve med 1/3 og den mundtlige eksamen med 2/3.