AU kursuskatalog arkiv

Funktionalanalyse og spektralteori ( forår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 29745

Formål

Analyse af ubegrænsede operatorer.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Mange centrale objekter i analyse, differentialgeometri og matematisk fysik er differentialoperatorer og således ubegrænsede operatorer. Derfor har vi et behov for at udvikle en udvidelse af spektralteorien fra Kurset i Videregående Analyse for at kunne forstå disse operatorer. Et vigtigt punkt er at kunne diagonalisere operatorer.

Vi starter ud med at definere ubegrænsede selvadjungerede operatorer og at etablere deres fundamentale egenskaber, som f.eks. at spektret er en delmængde af de reelle tal. Vi gennemgår en konstruktion af selvadjungerede operatorer ved udvidelse af en given symmetrisk operator via Cayley-transformationen og begrebet defektindekser. Herefter viser vi en version af spektralsætningen. Beviset baseres på spektralteori for begrænsede normale operatorer som studeret i kurset Videregående Analyse, specielt begrebet integration m.h.t. en familie af spektralprojektioner.

Vi studerer relationen mellem selvadjungerede operatorer og lukkede kvadratiske former, som er mere subtil end i det begrænsede tilfælde. Denne relation belyses ved eksemplet Sturm-Liouville operatorer. Vi introducerer Fourier-transformationen, som benyttes til at studere differentialoperatorer med konstante koefficienter på $\R^{n}$ og som værktøj for konstruktion af kompakte operatorer, jvf. Sobolevs indlejringssætninger.

Næste emne er teori til bestemmelse af spektret og dets natur; her optræder de kompakte operatorer naturligt. Et andet værktøj er Rayleigh-Ritz variationsformlen.

I det omfang tiden tillader det studeres mere systematisk teorien for selvadjungerede udvidelser (herunder Nelsons kommutatorsætning) og Stones sætning og måske mere generel semigruppeteori for Hilbert-rum.

Faglige forudsætninger

Videregående Analyse.

Underviser

Søren Fournais og Erik Skibsted (kursusansvarlig)

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers forelæsninger og øvelser om ugen.

Engelsk

Litteratur

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk fra d. 1. - 15. november 2010.

Eftertilmeldinger: Kontakt Maiken Kirdorf Nielsen, maiken@imf.au.dk

Særligt om dette kursus

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og præsentere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
• kombinere begreber fra algebra, analyse og topologi
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en skriftlig rapport af et givet emne.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter, med 25 minutters forberedelse og alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.