AU kursuskatalog arkiv

Repræsentationsteori for endelige grupper ( forår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk
• Niveau: Kandidatkursus
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 29667

Formål

En introduktion til et centralt område i moderne algebra.

Obligatorisk program

For at kunne indstille sig til eksamen er det en forudsætning, at 4 ud af 6 afleveringsopgaver er afleveret og godkendt.

Indhold

En repræsentation af en gruppe er en gruppehomomorfi fra gruppen ind i den generelle lineære gruppe bestående af invertible transformationer på et vektorrum. Repræsentationer udgør et vigtig redskab for studiet af grupper. Ved at repræsentere en abstrakt gruppe ved matricer kan man ofte udføre eksplicitte beregninger. Repræsentationsteori optræder naturligt i mange grene af såvel matematik som naturvidenskab i det hele taget. Således giver en gruppevirkning på en mangfoldighed anledning til repræsentationer på (ko)homologirummene for mangfoldigheden. Klassifikationen af krystaller forstås bedst ved hjælp af repræsentionsteori for endelige grupper.

I kurset kigger vi først på repræsentationer af endelige grupper, mest over legemet af de komplekse tal. Her er repræsentationer bestemt ved deres karakterer (visse funktioner på gruppen), og vi vil lære metoder for at finde alle karakterer på en gruppe. Vi kigger på inducerede repræsentationer. Som anvendelse viser vi Burnsides sætning: Hvis gruppeorden er et produkt af to primtal, så er gruppen opløselig.

Derefter kigger vi nærmere på repræsentationsteorien for symmetriske grupper. Til sidst diskuterer vi, hvad der sker, hvis vi erstatter de komplekse tal med et legeme af primtals karakteristik.

Faglige forudsætninger

Algebra

Underviser

Jens Carsten Jantzen

Undervisnings- og arbejdsform

4 timers undervisning pr. uge inkl. øvelser. Engelsk

Litteratur

G. James and M. Liebeck: Representations and Characters of Groups , Cambridge University Press, 2nd ed. 2003 og egne noter.

Kursushjemmeside

Kursushjemmesiden kan ses på instituttets hjemmeside
http://www.imf.au.dk kort før kursets start.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter

Reeksamen: efter aftale med faglæreren.

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Tilmelding til undervisning

Tilmelding på selvbetjeningen https://mit.au.dk fra d. 1. - 15. november 2010.

Eftertilmeldinger: Kontakt Maiken Kirdorf Nielsen, maiken@imf.au.dk

Særligt om dette kursus

Intet

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på konkrete eksempler og opgaver.

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur. Eksaminen er mundtlig og varer ca. 20 minutter, uden forberedelse.