AU kursuskatalog arkiv

Riemannsk geometri (Q3+Q4) honours ( forår 2011 - 10 ECTS )

Rammer for udbud

• Uddannelsessprog: engelsk (eller dansk)
• Niveau: Kandidatkursus (honours)
• Semester/kvarter: 3. + 4. kvarter (Forår 2011)
• Timer per uge: 4
• Deltagerbegrænsning: Ingen
• Undervisningssted: Århus
• Hovedområde: Det Naturvidenskabelige Fakultet
• Udbud ID: 28621

Formål

Formålet med kurset er at dække grundlæggende Riemannsk geometri med fokus på at nå lokal-globale resultater, specielt Gauss-Bonnet-sætningen.

Obligatorisk program

Intet.

Indhold

Kurset vil begynde med en gennemgang af det grundlæggende indenfor generel mangfoldighedsteori, deriblandt tensorer, vektorbundter og differentialformer. Vi vil derefter fortsætte med at dække kernen af klassisk Riemannsk geometri, deriblandt metrikker, konnektioner, krumning og geodæter på Riemannske mangfoldigheder.

Et primært mål for kurset vil være at bevise visse lokal-globale resultater især med fokus på Gauss-Bonnet-sætningen for lukkede flader, hvilket giver en forbindelse mellem krumningen og genus af en sådan flade.

Faglige forudsætninger

Geometri

Underviser

Robert Penner og Kim Frøyshov

Undervisnings- og arbejdsform

3-4 timers forelæsninger om ugen.

I honoursversionen af kurset forventes der en større selvstændighed af de studerende end i den normale version. Det gør sig gældende for de opgaver, der stilles i kursets løb, og især for den første delprøve, hvis større omfang end normalversionens gør det muligt at forklare, perspektivere og reflektere over emnet på et niveau, der er højere end normalversionens.

Engelsk

Litteratur

John M. Lee, "Riemannian Manifolds", An Introduction to Curvature, Springer Graduate Texts in Mathematics 176, New York, 1997.
(For further reading) Shigeyuki Morita, "Geometry of Differential Forms", Translations of the American Mathematical Society 201, Providence, RI, 2001.
Johan L. Dupont: "Differential Geometry", Lecture Notes no. 62, Aarhus University, 1993.

Eksamensterminer

Eksamen: 4. kvarter
Reeksamen: efter aftale med faglæreren

Udbyder

Institut for Matematiske Fag (IMF)

Læringsmål

Ved kursets afslutning forventes den studerende inden for kursets emneområde at kunne:

• gengive centrale resultater og give stringente, detaljerede beviser for dem
• sammenholde centrale resultater
• anvende kursets grundlæggende teknikker, resultater og begreber på avancerede eksempler og opgaver
• sætte sig ind i et foreskrevet delemne på selvstændig vis og diskutere udvalgte dele af dette delemne for sine medstuderende mundtligt med tilhørende skriftlige noter
• redegøre for, hvorledes kurset generaliserer klassiske resultater

Bedømmelse

Kurset evalueres efter 7-trinsskalaen med intern censur.

Evalueringen foregår ved to delprøver.

Den første delprøve er en skriftlig hjemmeopgave eller et seminar inklusive skriftligt materiale. Seminaret vil typisk bestå af 45 minutter. Emnet kan være en del af en artikel eller et kapitel fra en bog.

Den anden delprøve er en mundtlig eksamen, som varer ca. 20 minutter med 30 minutters forberedelse og med alle sædvanlige hjælpemidler.

Ved karaktergivning vægter den første delprøve 1/3 og den mundtlige eksamen 2/3.